Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

28
∑
=
++=
m
k
kkm
kxbkxaaxT
1
0
),sincos()( (3)
где
),,1(,,
0
mkbaa
kk
K=
– некоторые постоянные.
Формула (2) имеет тригонометрическую степень точности m,
если она верна для всевозможных тригонометрических многочленов
до степени
m
включительно, и существует многочлен степени
1+m
,
для которого она не верна.
Составим функцию
∏
=
−
=
n
k
k
xx
xT
1
2
.
2
sin)(
Так как
)]cos(1[
2
1
2
sin
2
k
k
xx
xx
−−=
−
, то )(xT есть многочлен
степени n . Для него квадратурная формула (2) не может быть точ-
ной, так как
∫
π
>
2
0
0)( dxxT , тогда как
∑
=
=
n
k
kk
xTA
1
0)(
. Это объясняется
тем, что все узлы
k
x являются корнями многочлена )(xT . Тригоно-
метрическая степень точности (2) всегда меньше
n , и соответствую-
щим выбором
k
x и
k
A мы можем ее сделать самое большее равной
1−n .
Оказывается, что наивысшая степень точности
1
−
n
достигается
простейшей квадратурной формулой с равными коэффициентами
),,2,1(
2
nk
n
A
k
K=
π
=
и равноотстоящими узлами.
Рассмотрим на числовой оси любую сетку равноотстоящих точек
с шагом
n
h
π
=
2
. Пусть
α
есть точка сетки, ближайшая к нулю спра-
ва или совпадающая с нулем. Точки )1,,1,0(
−
=
+
α
nkkh K лежат
на отрезке π<≤ 20 x . Примем их за узлы
k
x и построим квадратур-
ную формулу 
                                         m
                     Tm ( x) = a0 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx),          (3)
                                     k =1
где a0 , ak , bk (k = 1,K, m) – некоторые постоянные.
   Формула (2) имеет тригонометрическую степень точности m ,
если она верна для всевозможных тригонометрических многочленов
до степени m включительно, и существует многочлен степени m + 1 ,
для которого она не верна.
   Составим функцию
                                     n         x − xk
                          T ( x) = ∏ sin 2            .
                                  k =1            2
                x − xk 1
   Так как sin 2      = [1 − cos( x − xk )] , то T (x) есть многочлен
                   2    2
степени n . Для него квадратурная формула (2) не может быть точ-
              2π                               n
ной, так как ∫ T ( x)dx > 0 , тогда как ∑ Ak T ( xk ) = 0 . Это объясняется
              0                               k =1
тем, что все узлы xk являются корнями многочлена T (x) . Тригоно-
метрическая степень точности (2) всегда меньше n , и соответствую-
щим выбором xk и Ak мы можем ее сделать самое большее равной
n −1.
   Оказывается, что наивысшая степень точности n − 1 достигается
простейшей квадратурной формулой с равными коэффициентами
                                2π
                         Ak =            (k = 1,2,K, n)
                                 n
и равноотстоящими узлами.
   Рассмотрим на числовой оси любую сетку равноотстоящих точек
             2π
с шагом h =     . Пусть α есть точка сетки, ближайшая к нулю спра-
              n
ва или совпадающая с нулем. Точки α + kh (k = 0, 1, K, n − 1) лежат
на отрезке 0 ≤ x < 2π . Примем их за узлы xk и построим квадратур-
ную формулу


                                         28

Страницы