Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

29
∫
∑
π
=
π
−+α
π
≈
2
0
1
).
2
)1((
2
)(
n
k
n
kf
n
dxxf (4)
Покажем, что она является точной для всевозможных тригоно-
метрических многочленов до степени
1
−
n
включительно. Для этого
достаточно показать, что равенство (4) точное для функций
)1,,1,0( −= nme
imx
K . В случае
0
=
m
утверждение очевидно. При
11
−
<≤ nm
0)1(
1
2
2
0
=−=
π
π
∫
imimx
e
im
dxe
и
∑∑
=
π
αα
=
−α−+α
=
−
−
=
−
−
==
n
k
imh
im
im
imh
imnh
im
n
k
mhkiimhkim
e
e
e
e
e
eeee
1
2
1
)1(])1([
0
1
1
1
1
,
что и доказывает утверждение.
3. Остаток квадратурной формулы
и его представления
Значение остатка квадратурной формулы
∫
∑
=
−=
b
a
n
k
kk
xfAdxxfxpfR
1
)()()()( (1)
зависит от ее вида и от свойств интегрируемой функции. С помощью
формулы (1) трудно проследить, какое влияние на остаток оказывают
структурные свойства функции. Под структурными свойствами
функции понимаются такие свойства, как ограниченность изменения,
абсолютная непрерывность, выполнение условия Липшица, принад-
лежность к классу дифференцируемости. Чтобы упростить задачу
исследования остатка
)( fR , нужно построить другие представления
остатка.
Пусть рассматривается класс
F
функций, обладающий каким-
либо структурным свойством. Можно построить квадратурную фор-
мулу, которая способна представить всякую функцию из класса
F
.
Такую квадратурную формулу называют структурной формулой. 
                          2π
                                          2π n                   2π
                          ∫ f ( x)dx ≈ n ∑ f (α + (k − 1) n ).                        (4)
                          0              k =1
    Покажем, что она является точной для всевозможных тригоно-
метрических многочленов до степени n − 1 включительно. Для этого
достаточно показать, что равенство (4) точное для функций
e imx (m = 0, 1, K, n − 1) . В случае m = 0 утверждение очевидно. При
1 ≤ m < n −1
                          2π
                              imx         1
                                          im 2 π
                           ∫ e dx = im (e        − 1) = 0
                           0
и
    n                           n                   eimnh − 1            eim2π − 1
    ∑ eim[α + (k −1)h] = eimα ∑ ei(k −1)mh = eimα               = eimα               = 0,
k =1                           k =1                  eimh − 1            eimh − 1
что и доказывает утверждение.
                 3. Остаток квадратурной формулы
                        и его представления
        Значение остатка квадратурной формулы
                                      b              n
                        R ( f ) = ∫ p( x) f ( x)dx − ∑ Ak f ( xk )                    (1)
                                      a             k =1
зависит от ее вида и от свойств интегрируемой функции. С помощью
формулы (1) трудно проследить, какое влияние на остаток оказывают
структурные свойства функции. Под структурными свойствами
функции понимаются такие свойства, как ограниченность изменения,
абсолютная непрерывность, выполнение условия Липшица, принад-
лежность к классу дифференцируемости. Чтобы упростить задачу
исследования остатка R ( f ) , нужно построить другие представления
остатка.
   Пусть рассматривается класс F функций, обладающий каким-
либо структурным свойством. Можно построить квадратурную фор-
мулу, которая способна представить всякую функцию из класса F .
Такую квадратурную формулу называют структурной формулой.


                                           29

Страницы