Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

30
Рассмотрим структурную формулу и представление остатка в
случае, если функция )(xf принадлежит классу
],[ baC
r
. Характер-
ное представление функций этого класса дает формула Тейлора:
∑
∫
−
=
α
−
−
−
+α−
α
=
1
0
1
)(
)(
)!1(
)(
)()(
!
)(
)(
r
i
x
r
ri
i
dt
r
tx
tfx
i
f
xf , (2)
где
α – любая точка отрезка ],[ ba .
Интеграл с переменной границей удобно заменить на определен-
ный интеграл по отрезку ],[ ba . Для этого нужно ввести «гасящую»
функцию, позволяющую уничтожить в определенном интеграле
лишние участки интегрирования. Определим «гасящую» функцию
равенствами
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
=
>
=
.0,0
;0,
2
1
;0,1
)(
x
x
x
xE
Равенство (2) может быть записано в виде
{}
∑
∫
−
=
−
−
−
−α−−+α−
α
=
1
0
1
)(
)(
.
)!1(
)(
)()()()(
!
)(
)(
r
i
r
b
a
ri
i
dt
r
tx
tEtxEtfx
i
f
xf
(3)
Если за параметр
α
принять один из концов интервала интегри-
рования, например a=α , то формула (3) упростится:
∑
∫
−
=
−
≥
−
−
−+−=
1
0
1
)(
)(
.1,
)!1(
)(
)()()(
!
)(
)(
r
i
b
a
r
ri
i
rdt
r
tx
txEtfax
i
af
xf (4)
Получим представление остатка )( fR , характерное для класса
],[ baC
r
. Для этого подставим формулу (3) в равенство (1):
{}
.
)!1(
)(
)()()(])[(
!
)(
)(
1
0
1
)(
)(
∑
∫
−
=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−α−−+α−
α
=
r
i
b
a
r
ri
i
dt
r
tx
tEtxEtfRxR
i
f
fR
(5)
Будем считать, что в двукратном интеграле
∫∫
−
−
−α−−
−
b
a
b
a
r
r
dtdx
r
tx
tEtxEtfxp ,
)!1(
)(
)}()(){()(
1
)(
   Рассмотрим структурную формулу и представление остатка в
случае, если функция f (x) принадлежит классу C r [a, b] . Характер-
ное представление функций этого класса дает формула Тейлора:
                       f (i ) (α )
                                 r −1           x
                                                               ( x − t ) r −1
                     f ( x) = ∑    ( x − α) i + ∫ f ( r ) (t )                dt ,                       (2)
                  i =0     i!                   α                (r − 1)!
где α – любая точка отрезка [a, b] .
   Интеграл с переменной границей удобно заменить на определен-
ный интеграл по отрезку [a, b] . Для этого нужно ввести «гасящую»
функцию, позволяющую уничтожить в определенном интеграле
лишние участки интегрирования. Определим «гасящую» функцию
равенствами
                                  ⎧ 1 , x > 0;
                                  ⎪ 1
                         E ( x) = ⎨ , x = 0;
                                  ⎪ 2
                                  ⎩ 0, x < 0.
    Равенство (2) может быть записано в виде
           r −1 f (i ) (α )              b
                                                                                  ( x − t ) r −1
   f ( x) = ∑               ( x − α) i + ∫ f ( r ) (t ){E ( x − t ) − E (α − t )}                dt. (3)
           i =0     i!                   a                                          (r − 1)!
   Если за параметр α принять один из концов интервала интегри-
рования, например α = a , то формула (3) упростится:
                 r −1 f (i ) ( a )              b
                                                                           ( x − t ) r −1
     f ( x) = ∑                    ( x − a) i + ∫ f ( r ) (t ) E ( x − t )                dt , r ≥ 1. (4)
                 i =0     i!                    a                            (r − 1)!
    Получим представление остатка R( f ) , характерное для класса
C r [a, b] . Для этого подставим формулу (3) в равенство (1):
          r −1 f (i ) (α )                     ⎡b                                         ( x − t ) r −1 ⎤ (5)
 R( f ) = ∑                R[( x − α ) i ] + R ⎢ ∫ f ( r ) (t ){E ( x − t ) − E (α − t )}               dt ⎥.
          i =0     i!                          ⎢⎣ a                                         (r − 1)!       ⎥⎦
Будем считать, что в двукратном интеграле
                 b        b
                                 (r )                                    ( x − t ) r −1
                  ∫ p ( x) ∫ f          (t ){E ( x − t ) − E (α − t )}                  dtdx,
                 a        a                                                (r − 1)!


                                                       30

Страницы