Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

32
Л е к ц и я 4
Интерполяционные
квадратурные формулы
1. Общий вид интерполяционных
квадратурных формул
Для построения квадратурных сумм часто пользуются интерполи-
рованием подынтегральной функции. Во многих случаях построен-
ные таким путем квадратурные формулы обладают хорошей точно-
стью и удобны для применения.
Выберем на отрезке интегрирования nba ],[ произвольных точек
n
xxx ,,,
21
K
и интерполируем функцию f по ее значениям в этих
точках:
),()()( xrxPxf
+
=
(1)
∑
=
−−=ω
ω
′
−
ω
=
n
k
nk
kk
xxxxxxf
xxx
x
xP
1
1
).()()(),(
)()(
)(
)( K (2)
Здесь )(xr – остаток интерполирования.
Точное значение интеграла будет
∫∫∫
+=
b
a
b
a
b
a
dxxrxpdxxPxpdxxfxp .)()()()()()(
Если интерполирование (1) было достаточно точным и остаток
)(xr имел малые значения всюду на отрезке ],[ ba , то вторым сла-
гаемым можно пренебречь. После этого получится приближенное
равенство
∫
∑
=
≈
b
a
n
k
kr
xfAdxxfxp
1
),()()( (3)
где 
                             Лекция4
                     Интерполяционные
                   квадратурные формулы
             1. Общий вид интерполяционных
                  квадратурных формул
    Для построения квадратурных сумм часто пользуются интерполи-
рованием подынтегральной функции. Во многих случаях построен-
ные таким путем квадратурные формулы обладают хорошей точно-
стью и удобны для применения.
    Выберем на отрезке интегрирования [a, b] n произвольных точек
x1 , x2 ,K, xn и интерполируем функцию f по ее значениям в этих
точках:
                            f ( x) = P( x) + r ( x),           (1)
              n         ω( x)
       P( x) = ∑                     f ( xk ), ω( x) = ( x − x1 )K ( x − xn ).   (2)
             k =1 ( x − xk )ω′( xk )
  Здесь r (x) – остаток интерполирования.
  Точное значение интеграла будет
             b                 b                   b
             ∫ p( x) f ( x)dx = ∫ p( x) P( x)dx + ∫ p( x)r ( x)dx.
             a                  a                  a
    Если интерполирование (1) было достаточно точным и остаток
r (x) имел малые значения всюду на отрезке [a, b] , то вторым сла-
гаемым можно пренебречь. После этого получится приближенное
равенство
                         b                    n
                          ∫ p( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ar f ( xk ),                      (3)
                         a                  k =1
где




                                      32

Страницы