Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 33 стр.

                                b
                                               ω( x)
                          Ak = ∫ p( x)                      dx.                  (4)
                                a        ( x − xk )ω′( xk )
   Квадратурные формулы (3), коэффициенты которых определяют-
ся по формулам (4), называются интерполяционными. Для них спра-
ведлива теорема.
   Теорема 1. Для того, чтобы квадратурная формула (1) была ин-
терполяционной, необходимо и достаточно, чтобы она была точной
для всевозможных многочленов степени не выше n − 1 .
   Доказательство. Всякий многочлен P(x) степени ≤ n − 1 может
быть представлен в форме
               n       ω( x)
      P( x) = ∑                      f ( xk ), ω( x) = ( x − x1 )K ( x − xn ).
            k =1 ( x − x k )ω′( xk )

   Если коэффициенты Ak имеют значения (4), то равенство (3) бу-
дет точным для P(x) . Требование, чтобы равенство (3) было точным
для всех многочленов степени ≤ n − 1 , равносильно тому, что при
всяких P ( xk ) должно выполняться равенство
           b       n                                    n
                             ω( x)
           ∫ p( x) ∑ ( x − x )ω′( x ) P( xk )dx = ∑ Ak P( xk ).
           a      k =1      k      k              k =1

   Но тогда все коэффициенты Ak должны иметь значения, опреде-
ляемые по формуле (4), и формула (3) будет интерполяционной.
   Из теоремы видно, что коэффициенты Ak квадратурной формулы
определяются условием, чтобы формула давала точный результат
всякий раз, когда f есть многочлен степени ≤ n − 1 . Узлы квадра-
турной формулы xk остаются произвольными и можно воспользо-
ваться возможностью их выбора для достижения тех или иных целей.
   Для остатка интерполяционной квадратуры можно получить бо-
лее глубокие результаты, чем приведенные в лекции 2. Остаток квад-
ратурной формулы (3) равен интегралу от остатка разложения функ-
ции r (x)



                                      33