Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

35
∫
b
a
dxxf .)( (1)
Отрезок ],[ ba разделим на n равных частей
n
ab
h
−
= . Построим
интерполяционную квадратурную формулу с узлами
bnhahahaa
=
+
+
+ ,,2,, K . Чтобы коэффициенты квадратуры не
зависели от промежутка ],[ ba , запишем формулу в виде
∫
∑
=
+−=
b
a
n
k
n
k
khafBabdxxf
0
).()()( (2)
Величины
k
n
k
AabB
1
)(
−
−=
будут иметь значения
∫
+ω
′
−−
ω
−=
−
b
a
n
k
dx
khakhax
x
abB ,
)()(
)(
)(
1
где ).())(()( nhaxhaxaxx
−
−
−−−
=
ω K Если ввести новую пере-
менную t , положив thax
+
= , то
),(),()2)(1()(
1
kthkhaxntttthx
n
−=−−−−−=ω
+
K
,)!(!)1()( knkhkha
nkn
−−=+ω
′
−
и таким образом,
∫
−−−+−−
−
−
=
−
n
kn
n
k
dtntktkttt
knnk
B
0
)()1)(1()1(
)!(!
)1(
KK . (3)
Котесом были вычислены коэффициенты для n от 1 до 10. Ана-
лиз поведения коэффициентов
n
k
B при изменении номера k , начиная
с
6=n
, показывает, что они «ведут себя неправильно», часть коэф-
фициентов отрицательная. Поэтому нужно асимптотическое пред-
ставление коэффициентов:
при 11 −≤
≤
nk
,
ln
1
1
)1(1
ln)!(!
!)1(
22
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−
−
=
−
n
O
knk
nnknk
n
B
nk
n
k
(4)
при nkk =
=
,0 
                                            b
                                            ∫ f ( x)dx.                           (1)
                                            a
                                                    b−a
   Отрезок [a, b] разделим на n равных частей h =        . Построим
                                                     n
интерполяционную           квадратурную     формулу    с     узлами
a, a + h, a + 2h,K, a + nh = b . Чтобы коэффициенты квадратуры не
зависели от промежутка [a, b] , запишем формулу в виде
                           b                        n
                                                    n
                            ∫ f ( x)dx = (b − a) ∑ Bk f (a + kh).                 (2)
                           a                       k =0

   Величины Bkn = (b − a) −1 Ak будут иметь значения
                                     b
                                                 ω( x)
                  Bkn = (b − a ) −1 ∫                              dx,
                                     a ( x − a − kh ) ω′( a + kh )
где ω( x) = ( x − a)( x − a − h)K ( x − a − nh). Если ввести новую пере-
менную t , положив x = a + th , то
       ω( x) = h n +1t (t − 1)(t − 2)K (t − n),         x − a − kh = h(t − k ),
                                                n−k n
                         ω′(a + kh) = (−1)         h k!(n − k )!,
и таким образом,
                  (−1) n − k n
         Bkn =                 ∫ t (t − 1)K (t − k + 1)(t − k − 1)K (t − n)dt .   (3)
                 nk!( n − k )! 0
   Котесом были вычислены коэффициенты для n от 1 до 10. Ана-
лиз поведения коэффициентов Bkn при изменении номера k , начиная
с n = 6 , показывает, что они «ведут себя неправильно», часть коэф-
фициентов отрицательная. Поэтому нужно асимптотическое пред-
ставление коэффициентов:
   при 1 ≤ k ≤ n − 1
                            ( −1) k −1 n!   ⎡ 1 (−1) n ⎤ ⎡      ⎛ 1 ⎞⎤
                 Bkn =                      ⎢ +        ⎥ ⎢1 + O⎜⎜ 2 ⎟⎟⎥,          (4)
                         k!(n − k )!n ln n ⎣⎢ k n − k ⎦⎥ ⎣
                                        2
                                                                ⎝ ln n ⎠⎦
   при k = 0, k = n


                                            35

Страницы