Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

36
.
ln
1
1
ln
1
2
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+==
n
O
nn
BB
n
n
n
(5)
Из полученных коэффициентов видно, что при больших значени-
ях
n
в формуле Ньютона – Котеса будут встречаться как положи-
тельные, так и отрицательные коэффициенты, с большими значения-
ми по абсолютной величине. Отсюда следует, что малые ошибки в
вычислении значений функции )( khaf
+
могут дать большую по-
грешность в квадратурной сумме. Поэтому формулы Ньютона – Ко-
теса непригодны для вычислений при большом числе узлов.
Найдем более простое и удобное для приложений выражение ос-
татка для формул Ньютона – Котеса. По формуле (5) в лекции 1 имеем
∫
+ω=
b
a
dxnhahaxfxfR .),,,,()()( K (6)
Рассмотрим случай, когда
n – четное число и в квадратурной
формуле берется нечетное число узлов. Многочлен
)())(()( nhaxhaxaxx
−
−
−−
−
=ω K будет обладать свойством
)()( znhaza −+ω
−
=+ω , и график его будет симметричным относи-
тельно середины отрезка ],[ ba . Введем функцию
∫
ω=Ω
x
a
dttx .)()( Для
нее справедливо .0)()(,0)(
=
Ω
=
+
Ω
=Ω bnhaa Покажем, что )(xΩ
не обращается в нуль нигде внутри ],[ ba . Для этого рассмотрим ин-
тегралы
∫
+ν+
ν+
ν
ω=
ha
ha
dxxI
)1(
)(. Утверждение будет доказано, если устано-
вить, что последовательность чисел
1
2
10
,,,
−
n
III K убывает по абсо-
лютной величине. 
                                               1 ⎡        ⎛ 1 ⎞⎤
                           B0n = Bnn =             ⎢1 + O⎜⎜ 2 ⎟⎟⎥.                    (5)
                                            n ln n ⎣      ⎝ ln n ⎠⎦
   Из полученных коэффициентов видно, что при больших значени-
ях n в формуле Ньютона – Котеса будут встречаться как положи-
тельные, так и отрицательные коэффициенты, с большими значения-
ми по абсолютной величине. Отсюда следует, что малые ошибки в
вычислении значений функции f (a + kh) могут дать большую по-
грешность в квадратурной сумме. Поэтому формулы Ньютона – Ко-
теса непригодны для вычислений при большом числе узлов.
   Найдем более простое и удобное для приложений выражение ос-
татка для формул Ньютона – Котеса. По формуле (5) в лекции 1 имеем

                                        b
                               R ( f ) = ∫ ω( x) f ( x, a, h,K, a + nh)dx.            (6)
                                        a

   Рассмотрим случай, когда n – четное число и в квадратурной
формуле          берется      нечетное      число  узлов.   Многочлен
ω( x) = ( x − a )( x − a − h)K ( x − a − nh) будет обладать свойством
ω(a + z ) = −ω(a + nh − z ) , и график его будет симметричным относи-
                                                                             x
тельно середины отрезка [a, b] . Введем функцию Ω( x) = ∫ ω(t )dt. Для
                                                                             a
нее справедливо Ω(a ) = 0, Ω(a + nh) = Ω(b) = 0. Покажем, что Ω(x)
не обращается в нуль нигде внутри [a, b] . Для этого рассмотрим ин-
                a + (ν +1) h
тегралы I ν =        ∫ ω( x)dx . Утверждение будет доказано, если устано-
                  a + νh
вить, что последовательность чисел I 0 , I1 ,K , I n                     убывает по абсо-
                                                                    −1
                                                                2
лютной величине.




                                               36

Страницы