Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

38
.,
)!2(
)(
),,,(
)2(
ba
n
f
nhaaf
n
x
<ξ<
+
ξ
=+η
′
+
K
Получаем
∫∫∫
ω−=Ω
′
−Ω=Ω
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxxdxxxxxdxx .)()()()(
Доказано, что для остатка интерполяционной квадратуры Ньюто-
на – Котеса верно равенство
∫
ω
+
ξ
=
+
b
a
n
dxxx
n
f
fR .)(
)!2(
)(
)(
)2(
(7)
Найдем знак остатка. Функция
∫
ω=Ω
x
a
dttx )()( сохраняет знак на
отрезке ],[ ba , поэтому достаточно выяснить ее знак в одной точке,
например hax +=
∫
+
ω=+Ω
ha
a
dttha .)()(
При hata +<
<
в произведении
)())(()( nhathatatt −−
−
−
−
=
ω
K
первый множитель положительный, все остальные отрицательные и
).,(,)1()(sign batt
n
∈−=Ω Так как
∫∫
Ω−=ω
b
a
b
a
dxxdxxx )()(, то
∫
−=−=ω
+
b
a
n
dxxx 1)1()(sign
1
ввиду четности n . Таким образом, дока-
зана теорема 2.
Теорема 2. Если число узлов 1
+
n в формуле (2) Ньютона – Коте-
са нечетное и функция f имеет на отрезке ],[ ba непрерывную про-
изводную порядка
2+n
, то внутри ],[ ba существует точка ξ такая,
что для остатка )( fR квадратурной формулы верно равенство (7).
Коэффициент при )(
)2(
ξ
+n
f – отрицателен. 
                                                   f ( n + 2) (ξ)
                   f x′ (η, a,K , a + nh) =                       , a < ξ < b.
                                                     (n + 2)!
   Получаем
               b                        b      b                   b
               ∫ Ω( x)dx = xΩ( x) − ∫ xΩ′( x)dx = − ∫ xω( x)dx.
               a                        a      a                   a
   Доказано, что для остатка интерполяционной квадратуры Ньюто-
на – Котеса верно равенство
                                            f ( n + 2) (ξ) b
                             R( f ) =                      ∫ xω( x)dx.                    (7)
                                             (n + 2)! a
                                                              x
   Найдем знак остатка. Функция Ω( x) = ∫ ω(t ) dt сохраняет знак на
                                                              a
отрезке [a, b] , поэтому достаточно выяснить ее знак в одной точке,
например x = a + h
                                                    a+h
                                Ω(a + h) = ∫ ω(t )dt.
                                                      a
   При a < t < a + h в произведении ω(t ) = (t − a)(t − a − h)K(t − a − nh)
первый множитель положительный, все остальные отрицательные и
                                                             b                   b
signΩ(t ) = (−1) n , t ∈ (a, b).        Так          как     ∫ xω( x)dx = − ∫ Ω( x)dx ,   то
                                                             a                   a
    b
sign ∫ xω( x)dx = (−1) n +1 = −1 ввиду четности n . Таким образом, дока-
    a
зана теорема 2.
   Теорема 2. Если число узлов n + 1 в формуле (2) Ньютона – Коте-
са нечетное и функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную про-
изводную порядка n + 2 , то внутри [a, b] существует точка ξ такая,
что для остатка R ( f ) квадратурной формулы верно равенство (7).
Коэффициент при f ( n + 2) (ξ) – отрицателен.


                                               38

Страницы