Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

40
)()( znhaza −+
ω
=+ω . График многочлена будет линией, симмет-
ричной относительно прямой
2
ba
x
+
= .
Чтобы упростить выражение остатка в формуле (6), разделим от-
резок ],[ ba на две части: ])1(,[ hnaa
−
+
и ],)1([ bhna
−
+
. На втором
отрезке многочлен )(xω сохраняет знак, и к интегралу на этом отрез-
ке можно применить теорему о среднем значении.
Тогда погрешность квадратурной формулы имеет вид
∫∫
−+
−+
+
+=ω
+
ξ
++ω=
hna
a
b
hna
n
IIdxx
n
f
dxnhaaxfxfR
)1(
)1(
21
1
)1(
.)(
)!1(
)(
),,,()()( K
Рассмотрим первый из интегралов в правой части. Отделим в
многочлене )(xω множитель nhax
−
−
и положим
).()()(
1
xnhaxx ω−
−
=ω Следовательно,
∫∫
−+−+
ω+−−+ω=
hna
a
hna
a
dxxnhaafdxhnaaxfxI
)1()1(
11
.)(),,())1(,,,()( KK
Так как интеграл
∫
−+
=ω
hna
a
dxx
)1(
1
0)(
, то второй член в выражении
для
1
I исчезает. Первый член есть интеграл вида (6) и его можно
привести к виду
∫
−+
+
ω
+
ξ
=
hna
a
n
dxxx
n
f
I
)1(
1
2
)1(
1
.)(
)!1(
)(
Коэффициент при )(
2
)1(
ξ
+n
f есть число отрицательное. Для ос-
татка )( fR получим
∫∫
−+
−+
++
ω
+
ξ
+ω
+
ξ
=
hna
a
b
hna
nn
dxx
n
f
dxx
n
f
fR
)1(
)1(
1
)1(
2
)1(
.)(
)!1(
)(
)(
)!1(
)(
)( 
ω(a + z ) = ω(a + nh − z ) . График многочлена будет линией, симмет-
                                      a+b
ричной относительно прямой x =              .
                                        2
   Чтобы упростить выражение остатка в формуле (6), разделим от-
резок [a, b] на две части: [a, a + ( n − 1)h] и [a + ( n − 1)h, b] . На втором
отрезке многочлен ω(x) сохраняет знак, и к интегралу на этом отрез-
ке можно применить теорему о среднем значении.
   Тогда погрешность квадратурной формулы имеет вид
            a + ( n −1) h
                                                             f ( n +1) (ξ1 )  b
 R( f ) =        ∫          ω( x) f ( x, a,K, a + nh)dx +                     ∫ ω( x)dx = I1 + I 2 .
                 a                                             (n + 1)! a + ( n −1) h

   Рассмотрим первый из интегралов в правой части. Отделим в
многочлене         ω(x)       множитель      x − a − nh и положим
ω( x) = ( x − a − nh)ω1 ( x). Следовательно,
     a + ( n −1) h                                                                  a + ( n −1) h
I=          ∫        ω1 ( x) f ( x, a,K, a + (n − 1)h)dx − f (a,K , a + nh)              ∫ ω1 ( x)dx.
            a                                                                            a
                                    a + ( n −1) h
   Так как интеграл                      ∫ ω1 ( x)dx = 0 , то второй член в выражении
                                         a
для I1 исчезает. Первый член есть интеграл вида (6) и его можно
привести к виду
                                         f ( n +1) (ξ 2 ) a + ( n −1) h
                                  I1 =                          ∫ xω1 ( x)dx.
                                            (n + 1)!            a

   Коэффициент при f ( n +1) (ξ 2 ) есть число отрицательное. Для ос-
татка R ( f ) получим

                 f ( n +1) (ξ 2 ) a + ( n −1) h           f ( n +1) (ξ1 )  b
        R( f ) =                        ∫       ω( x)dx +                  ∫ ω( x)dx.
                    (n + 1)!            a                   (n + 1)! a + ( n −1) h




                                                     40

Страницы