Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

42
Пусть
1=n
. В этом случае интерполирование функции f выпол-
няется по двум ее значениям на концах отрезка интегрирования. Ра-
венство (2) приводится к известной формуле трапеций:
.)(
2
1
)(
2
1
)()(
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−≈
b
a
bfafabdxxf (1)
Так как ))(()( bxaxx
−
−=ω , то формула остатка имеет вид
.),(
12
)(
3
baf
ab
R <ξ<ξ
′′
−
= (2)
Разобьем отрезок ],[ ba на n равных частей длины
n
ab
h
−
= , рас-
смотрим частичный отрезок ])1(,[ hkakha
+
+
+
и к нему применим
формулу (1)
[]
+++++=
∫
++
+
hka
kha
hkafkhaf
h
dxxf
)1(
))1(()(
2
)(
+ .)(
!2
)1(
*
2
2
dt
h
tkha
ytf
h
hka
kha
∫
++
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
′′
После суммирования по всем частичным отрезкам получим фор-
мулу трапеций с остатком в виде определенного интеграла
∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′′
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++=
−
b
a
b
a
nn
dt
h
ta
ytf
h
ffffhdxxf ,)(
!22
1
2
1
)(
*
2
2
110
K (3)
).(, khaff
n
ab
h +=
−
=
Поскольку ядро остатка знакопостоянное, к интегралу может быть
применена теорема о среднем значении и остаток принимает вид
).(
)(
12
1
)(
2
3
ξ
′′
−
−= f
n
ab
fR 
   Пусть n = 1 . В этом случае интерполирование функции f выпол-
няется по двум ее значениям на концах отрезка интегрирования. Ра-
венство (2) приводится к известной формуле трапеций:
                             b
                                                   ⎡          1       ⎤  1
                             ∫ f ( x)dx ≈ (b − a ) ⎢ 2 f (a) + 2 f (b)⎥.                 (1)
                             a                            ⎣                          ⎦
  Так как ω( x) = ( x − a )( x − b) , то формула остатка имеет вид

                                           (b − a ) 3
                                    R=                f ′′(ξ), a < ξ < b.                (2)
                                              12
                                                         b−a
  Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины h =        , рас-
                                                           n
смотрим частичный отрезок [a + kh, a + (k + 1)h] и к нему применим
формулу (1)
             a + ( k +1) h
                                              h
                  ∫          f ( x)dx =         [ f (a + kh) + f (a + (k + 1)h)] +
                a + kh                        2
                                  a + ( k +1) h
                             h2                                 ⎛ a + kh − t ⎞
                      +                ∫          f ′′(t ) y 2* ⎜            ⎟ dt.
                             2!      a + kh                     ⎝     h      ⎠
  После суммирования по всем частичным отрезкам получим фор-
мулу трапеций с остатком в виде определенного интеграла
   b
                    ⎡1                      1 ⎤ h2 b                ⎛ a −t ⎞
   ∫ f ( x ) dx = h    f +
                    ⎢2 0 1 f + K + f n −1 +  fn ⎥ + ∫ f ′′(t ) y 2* ⎜      ⎟dt , (3)
   a                ⎣                       2 ⎦ 2! a                ⎝ h ⎠
      b−a
   h=      , f = f (a + kh).
        n
  Поскольку ядро остатка знакопостоянное, к интегралу может быть
применена теорема о среднем значении и остаток принимает вид

                                                 1 (b − a ) 3
                                  R( f ) = −                  f ′′(ξ).
                                                12 n 2




                                                     42

Страницы