Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

43
Разберем другой случай и положим
2
=
n
. Интерполирование
функции f выполняется по значениям в трех точках:
b
ba
a ,
2
,
+
.
Квадратурная формула (2) из лекции 2 будет иметь вид
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−≈
b
a
bf
ba
fafabdxxf .)(
26
4
)(
6
1
)()( (4)
Остаток, найденный с помощью формулы (7) из лекции 2, имеет
вид
).(
290
1
)(
2
)(
!4
)(
)(
)4(
5
)4(
ξ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−−
ξ
=
∫
f
ab
dxbx
ba
xaxx
f
fR
b
a
(5)
Считая n четным числом, разделим ],[ ba на n равных частей
длины
n
ab
h
−
= . Возьмем удвоенный частичный отрезок
])1(,)1([ hkahka ++−+ и применим к нему формулу (4):
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++=
∫
++
−+
+−
hka
hka
kkk
fffhdxxf
)1(
)1(
11
6
1
6
4
6
1
2)(
∫
++
−+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+
+
hka
hka
dt
h
tkha
y
h
thka
ytfh
)1(
)1(
*
4
*
4
)4(4
.
8
1
2
2
2
)1(
)(
9
2
Применяя это равенство к отрезкам
],)2([,],4,2[],2,[ nhahnahahahaa
+
−
+
+
+
+ K
и суммируя результаты, получим формулу парабол, или правило
Симпсона:
()()
[]
),(42
3
)(
1312420
fRffffffff
h
dxxf
b
a
nnn
++++++++++=
∫
−−
KK
(6)
).(
180
)(
)(
)4(
4
5
ξ
−
−= f
n
ab
fR (7)
При 3
=
n получим формулу, которая называется правилом трех
восьмых: 
  Разберем другой случай и положим n = 2 . Интерполирование
                                                     a+b
функции f выполняется по значениям в трех точках: a,     ,b.
                                                      2
Квадратурная формула (2) из лекции 2 будет иметь вид
                           b                     ⎡1                            ⎤
                                                              4 ⎛a+b⎞
                           ∫ f ( x)dx ≈ (b − a ) ⎢ 6 f (a ) + 6 f ⎜ 2 ⎟ + f (b)⎥.                (4)
                           a                     ⎣                ⎝   ⎠        ⎦
   Остаток, найденный с помощью формулы (7) из лекции 2, имеет
вид
                                                                                    5
            f ( 4) (ξ) b            ⎛     a+b⎞               1 ⎛ b − a ⎞ ( 4)
R( f ) =               ∫ x ( x − a )⎜ x −    ⎟( x − b) dx = − ⎜        ⎟ f (ξ). (5)
                4! a                ⎝      2 ⎠               90 ⎝ 2 ⎠
   Считая n четным числом, разделим [a, b] на n равных частей
                b−a
длины h =              . Возьмем удвоенный частичный отрезок
                  n
[a + (k − 1)h, a + ( k + 1) h] и применим к нему формулу (4):
                    a + ( k +1) h
                                                ⎡1        4     1       ⎤
                           ∫      f ( x)dx = 2h ⎢ f k −1 + f k + f k +1 ⎥ +
                    a + ( k −1) h               ⎣6        6     6       ⎦
           a + ( k +1) h
  2                 ⎧ ⎛ a + (k − 1)h − t ⎞      * ⎛ a + kh − t ⎞  1⎫
 + h 4 ∫ f ( 4) (t )⎨ y4* ⎜              ⎟ + 2 y4 ⎜            ⎟ − ⎬dt.
  9 a + ( k −1) h   ⎩ ⎝       2h         ⎠        ⎝    2h      ⎠ 8⎭
  Применяя это равенство к отрезкам
          [a, a + 2h], [a + 2h, a + 4h],K,[ a + (n − 2)h, a + nh]
и суммируя результаты, получим формулу парабол, или правило
Симпсона:
 b
              h
 ∫ f ( x)dx = 3 [ f 0 + f n + 2( f 2 + f 4 + K + f n − 2 ) + 4( f1 + f 3 + K + f n −1 )] + R( f ), (6)
 a
                                                    (b − a ) 5
                                       R( f ) = −          (7)   f ( 4) (ξ).
                                                           4
                               180n
   При n = 3 получим формулу, которая называется правилом трех
восьмых:



                                                 43

Страницы