Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

45
3.
Представление остатка интерполяционной квадратуры.
4.
Формулы Ньютона – Котеса.
5.
Почему формулы Ньютона – Котеса непригодны для вычисле-
ний при большом числе узлов?
6.
Форма остатка формулы Ньютона – Котеса.
7.
Простейшие формулы Ньютона – Котеса, остатки этих квадратур.
8.
Формула Симпсона и правило трех восьмых имеют одинако-
вую степень точности. Погрешность какой из двух формул выше и во
сколько раз?
Л е к ц и я 5
Квадратурные формулы наивысшей
алгебраической степени точности
1. Общие теоремы
Квадратурная формула
∫
∑
=
≈
b
a
n
k
kk
xfAdxxfxp
1
)()()( (1)
при фиксированном числе узлов содержит
n2
параметров
k
A и
),,2,1( nkx
k
K= . Параметры нужно выбрать так, чтобы формула (1)
была точной для многочленов возможно более высокой степени. В
лекции 4 мы выяснили, что при произвольном выборе узлов и при
определенном выборе коэффициентов
k
A формула (1) будет точной
для всех многочленов степени 1
−
≤
n . При этом требовании форму-
ла (1) должна быть интерполяционной.
Для увеличения точности квадратурной формулы (1) можно вос-
пользоваться
n
узлами
k
x . Степень точности при определенных ус-
ловиях можно увеличить на n единиц и сделать формулу, верной для
всех многочленов степени
12
−
≤
n
. Выясним условия, которым
должны удовлетворять
k
A и
k
x , чтобы формула имела степень точ-
ности 12 −≤ n . 
   3. Представление остатка интерполяционной квадратуры.
   4. Формулы Ньютона – Котеса.
   5. Почему формулы Ньютона – Котеса непригодны для вычисле-
ний при большом числе узлов?
   6. Форма остатка формулы Ньютона – Котеса.
   7. Простейшие формулы Ньютона – Котеса, остатки этих квадратур.
   8. Формула Симпсона и правило трех восьмых имеют одинако-
вую степень точности. Погрешность какой из двух формул выше и во
сколько раз?
                           Лекция5
        Квадратурные формулы наивысшей
         алгебраической степени точности
                       1. Общие теоремы
  Квадратурная формула
                       b                  n
                       ∫ p( x) f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )           (1)
                       a                 k =1
при фиксированном числе узлов содержит 2n параметров Ak и
xk ( k = 1, 2, K, n) . Параметры нужно выбрать так, чтобы формула (1)
была точной для многочленов возможно более высокой степени. В
лекции 4 мы выяснили, что при произвольном выборе узлов и при
определенном выборе коэффициентов Ak формула (1) будет точной
для всех многочленов степени ≤ n − 1 . При этом требовании форму-
ла (1) должна быть интерполяционной.
   Для увеличения точности квадратурной формулы (1) можно вос-
пользоваться n узлами xk . Степень точности при определенных ус-
ловиях можно увеличить на n единиц и сделать формулу, верной для
всех многочленов степени ≤ 2n − 1 . Выясним условия, которым
должны удовлетворять Ak и xk , чтобы формула имела степень точ-
ности ≤ 2n − 1 .




                                   45

Страницы