Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 46 стр.

   Построим многочлен ω( x) = ( x − x1 )( x − x2 )K ( x − xn ) по уз-
лам xk . Этот многочлен можно разложить по степеням x :
ω( x) = x n + a1 x n −1 + K . Корни этого многочлена совпадают с узла-
ми xk . К корням многочлена ω(x) предъявляются требования: они
должны быть действительными, различными и не выходить за гра-
ницы отрезка интегрирования.
    Теорема 1. Для того, чтобы формула (1) была точной для всех
многочленов степени ≤ 2n − 1 необходимо и достаточно, чтобы она
была интерполяционной и многочлен ω(x) был ортогонален по весу
 p (x) ко всем многочленам Q(x) степени < n :
                             b
                             ∫ p( x)ω( x)Q( x)dx = 0 .               (2)
                             a
     Доказательство. Проверим необходимость условия. Если форму-
ла (1) верна для многочленов степени ≤ 2n − 1 , то она верна и для
многочленов степени ≤ n − 1 и поэтому должна быть интерполяци-
онной.
     Пусть Q(x) – любой многочлен степени ≤ n − 1 . Произведение
 f ( x) = ω( x)Q( x) есть многочлен степени ≤ 2n − 1 и для него равенст-
во (1) должно быть точным. Но f ( xk ) = 0 ( k = 1,2,K, n) и поэтому
                         b
                         ∫ p( x)ω( x)Q( x)dx = 0 ,
                         a
что доказывает необходимость ортогональности.
   Убедимся в достаточности условий. Пусть f – произвольный
многочлен степени ≤ 2n − 1 . Разделив f на ω , можно представить
 f в форме
                                 f = Qω + ρ ,
где Q(x) и ρ(x) – многочлены степеней ≤ n − 1 . Так как ω( xk ) = 0 то
                    f ( xk ) = ρ( xk ) (k = 1,2,K, n),




                                     46