Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

48
Теорема 2. Если 0)( ≥xp , то ни при каком выборе
k
x и
k
A ра-
венство (1) не может быть верным для всех многочленов степени
n2 .
Доказательство
. Для многочлена )()(
2
xxf ω= , имеющего сте-
пень n2, интеграл
∫
>
b
a
dxxfxp 0)()(, так как вес )(xp неотрицатель-
ный. Квадратурная сумма
∑
=
0)(
kk
xfA так как 0)(
=
k
xf . Поэтому
для
)()(
2
xxf ω=
равенство (1) не может быть верным.
Построим квадратурную формулу, имеющую наивысшую степень
точности. Для этого рассмотрим систему ортогональных на ],[ ba
многочленов ),2,1()(
K
=
nxP
n
по весу )(xp . Будем считать мно-
гочлены нормированными. Возьмем из этой системы многочлен сте-
пени n . Корни
)(xP
n
будут узлами
k
x
разыскиваемой квадратурной
формулы.
Коэффициенты
k
A определяются равенством, равносильным ра-
венству (4) в лекции 4:
∫
′
−
=
b
a
knk
n
k
dx
xPxx
xP
xpA .
)()(
)(
)( (3)
Для вычисления интеграла (3) воспользуемся тождеством Кри-
стоффеля–Дарбу, положив в нем
k
xt
=
. Тогда оно примет вид
∑
−
=
+
+
−
−=
1
0
1
1
)()(
)()(
n
s
k
knn
n
n
kss
xx
xPxP
a
a
xPxP
,
где
n
a означает старший коэффициент в многочлене )(xP
n
.
Умножим обе части равенства на )(xp и проинтегрируем по от-
резку ],[ ba . Поскольку многочлены ортонормированные, то после
интегрирования получим равенство
.
)(
)()(1
1
1
dx
xx
xP
xpxP
a
a
k
n
b
a
kn
n
n
−
−=
∫
+
+
   Теорема 2. Если p( x) ≥ 0 , то ни при каком выборе xk и Ak ра-
венство (1) не может быть верным для всех многочленов степени 2n .
   Доказательство. Для многочлена f ( x) = ω2 ( x) , имеющего сте-
                       b
пень 2n , интеграл ∫ p( x) f ( x)dx > 0 , так как вес p (x) неотрицатель-
                       a
ный. Квадратурная сумма ∑ Ak f ( xk ) = 0 так как f ( xk ) = 0 . Поэтому
для f ( x) = ω2 ( x) равенство (1) не может быть верным.
   Построим квадратурную формулу, имеющую наивысшую степень
точности. Для этого рассмотрим систему ортогональных на [a, b]
многочленов Pn ( x) (n = 1, 2, K) по весу p (x) . Будем считать мно-
гочлены нормированными. Возьмем из этой системы многочлен сте-
пени n . Корни Pn (x) будут узлами xk разыскиваемой квадратурной
формулы.
   Коэффициенты Ak определяются равенством, равносильным ра-
венству (4) в лекции 4:
                                 b              Pn ( x)
                           Ak = ∫ p( x)                         dx.    (3)
                                 a        ( x − xk ) Pn′ ( xk )
   Для вычисления интеграла (3) воспользуемся тождеством Кри-
стоффеля–Дарбу, положив в нем t = xk . Тогда оно примет вид
                n −1                       an Pn ( x) Pn +1 ( xk )
                ∑ Ps ( x) Ps ( xk ) = −                            ,
                s =0                      an +1     x − xk
где an означает старший коэффициент в многочлене Pn (x) .
   Умножим обе части равенства на p (x) и проинтегрируем по от-
резку [a, b] . Поскольку многочлены ортонормированные, то после
интегрирования получим равенство

                            an               b        P ( x)
                   1= −          Pn +1 ( xk ) ∫ p ( x) n      dx.
                           an +1             a        x − x k




                                         48

Страницы