Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

49
Отсюда
k
A будет иметь вид
.
)()(
1
1
1
knknn
n
k
xPxPa
a
A
+
+
′
−= (4)
Полученное выражение можно упростить, если использовать ре-
куррентное соотношение между ортонормированными многочленами:
.0)()(
1
1
1
1
=+
−
−
+
+
kn
n
n
kn
n
n
xP
a
a
xP
a
a
Коэффициенты
k
A примут вид
.
)()(
1
11 knknn
n
k
xPxPa
a
A
−−
′
= (5)
Отметим, что все коэффициенты квадратурной формулы, имею-
щей наивысшую степень точности 12
−
n , положительны. Это следу-
ет из теоремы 3.
Теорема 3. Если квадратурная формула (1) верна для всевозмож-
ных многочленов степени 22
−
n , то все ее коэффициенты
k
A
поло-
жительны.
Доказательство
. Рассмотрим функцию .
)(
)(
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
ω
=
i
xx
x
xf Это мно-
гочлен степени 22 −n и для него равенство (1) должно быть верным.
Но
⎩
⎨
⎧
=ω
′
≠
=
.),(
;,0
)(
2
ikx
ik
xf
i
k
Поэтому
∫
ω
′
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
ω
b
a
ii
i
xAdx
xx
x
xp ),(
)(
)(
2
2
.0
)()(
)(
)(
2
>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω
′
−
ω
=
∫
dx
xxx
x
xpA
b
a
ii
i
   Отсюда Ak будет иметь вид
                          a              1
                    Ak = − n +1                       .                   (4)
                                ′
                           a n Pn ( xk ) Pn +1 ( xk )
   Полученное выражение можно упростить, если использовать ре-
куррентное соотношение между ортонормированными многочленами:
                  an                  a
                        Pn +1 ( xk ) + n −1 Pn −1 ( xk ) = 0.
                 a n +1                an
   Коэффициенты Ak примут вид
                                     an              1
                             Ak =                                 .       (5)
                                            ′
                                    a n −1 Pn ( xk ) Pn −1 ( xk )
   Отметим, что все коэффициенты квадратурной формулы, имею-
щей наивысшую степень точности 2n − 1 , положительны. Это следу-
ет из теоремы 3.
   Теорема 3. Если квадратурная формула (1) верна для всевозмож-
ных многочленов степени 2n − 2 , то все ее коэффициенты Ak поло-
жительны.
                                                                      2
                                                 ⎡ ω( x) ⎤
   Доказательство. Рассмотрим функцию f ( x) = ⎢          ⎥ . Это мно-
                                                 ⎣ x − xi ⎦
гочлен степени 2n − 2 и для него равенство (1) должно быть верным.
Но
                                        ⎧ 0,     k ≠ i;
                             f ( xk ) = ⎨ 2
                                        ⎩ω′ ( xi ), k = i.
   Поэтому
                     b                    2
                             ⎡ ω( x) ⎤           2
                     ∫ p( x) ⎢ x − x ⎥ dx = Ai ω′ ( xi ),
                     a       ⎣      i⎦

                         b                             2
                                ⎡       ω( x)        ⎤
                  Ai = ∫ p ( x) ⎢                    ⎥ dx > 0.
                       a        ⎣ ( x − xi )ω′( xi ) ⎦


                                         49

Страницы