Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

51
Далее докажем теорему о сходимости квадратурного процесса.
Пусть )(xp – неотрицательная весовая функция на ],[ ba и
),1,0()( K
=
ω nx
n
– принадлежащая ей система ортогональных
многочленов. Пусть
),,2,1(
)(
nkx
n
k
K= – корни многочлена )(x
n
ω
и ),,2,1(
)(
nkA
n
k
K= – соответствующие им коэффициенты квад-
ратурной формулы наивысшей степени точности.
Теорема 5. Если отрезок ],[ ba – конечный и функция f непре-
рывна на нем, то
∑
∫
=
∞→
=
n
k
b
a
n
k
n
k
n
dxxfxpxfA
1
)()(
.)()()(lim (7)
Доказательство
. Поскольку f непрерывна на ],[ ba , при любом
0>ε найдется такой многочлен )(xP , что для всяких ],[ bax
∈
будет
.)()( ε<− xPxf (8)
Очевидно,
+−≤−
∫∫∫
∑
=
b
a
b
a
b
a
n
k
n
k
n
k
pPdxpfdxxfApfdx
1
)()(
)(
+
.)()()(
11
)()()()(
1
)()(
∑∑
∫
∑
===
−+−
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
b
a
n
k
n
k
n
k
xfAxPAxPApPdx
С учетом формулы (8)
∫∫∫
ε<−
b
a
b
a
b
a
pdxpPdxpfdx
и
∑
∫
∑∑
===
ε=ε≤−
n
k
b
a
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
pdxAxfAxPA
1
)(
11
)()()()(
.)()(
Кроме того, если m – степень многочлена )(xP , то при
mn ≥−12, будет выполняться 
  Далее докажем теорему о сходимости квадратурного процесса.
  Пусть p (x) – неотрицательная весовая функция на [a, b] и
ωn ( x) (n = 0, 1, K) – принадлежащая ей система ортогональных
многочленов. Пусть xk( n )               (k = 1, 2, K, n) – корни многочлена ωn (x)
и Ak( n)       (k = 1, 2, K , n) – соответствующие им коэффициенты квад-
ратурной формулы наивысшей степени точности.
   Теорема 5. Если отрезок [a, b] – конечный и функция f непре-
рывна на нем, то
                                          n                       b
                                  lim ∑ Ak( n) f ( xk( n) ) = ∫ p ( x) f ( x)dx.         (7)
                                 n →∞   k =1                      a
   Доказательство. Поскольку f непрерывна на [a, b] , при любом
ε > 0 найдется такой многочлен P(x) , что для всяких x ∈ [a, b] будет
                                               f ( x) − P( x) < ε.                       (8)
    Очевидно,
                      b           n                       b               b
                                  (n)    ( n)
                      ∫ pfdx − ∑ Ak f ( xk ) ≤ ∫ pfdx − ∫ pPdx +
                      a          k =1                     a               a
           b               n                        n                          n
      + ∫ pPdx − ∑ A( n ) P( x ( n) ) + ∑ A( n) P( x ( n ) ) − ∑ A( n) f ( x ( n) ) .
                    k         k            k        k             k         k
           a              k =1                     k =1                       k =1
    С учетом формулы (8)
                                  b            b              b
                                   ∫ pfdx − ∫ pPdx < ε ∫ pdx
                                  a            a              a
и
                n                        n                            n              b
                  (n)   ( n)     ( n)   ( n)       ( n)
               ∑ Ak P( xk ) − ∑ Ak f ( xk ) ≤ ε ∑ Ak = ε ∫ pdx.
               k =1                     k =1                      k =1               a
   Кроме того, если m – степень многочлена P(x) , то при
2n −1 ≥ m , будет выполняться


                                                   51

Страницы