Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

53
∫
∑
−
=
≈
1
1
1
)()(
),()(
n
k
n
k
n
k
xfAdxxf (3)
имеющую наивысшую степень точности
12
−
n
. Узлы ее нужно взять
в корнях многочлена Лежандра степени
n :
.0)(
)(
=
n
k
n
xP
Простые вычисления с помощью формул (4) и (5) разд. 1 этой
лекции дадут коэффициенты в виде
()
()
()
()
()
[]
2
'
2
1
2
n
k
n
n
k
n
k
xPx
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
= (4)
Выражение остаточного члена формулы Гаусса вычисляется по
формуле
].1,1[),(
)!2(
)!(
)!2)(12(
2
)(
)2(
2
212
−∈ηη
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
+
n
n
f
n
n
nn
fR (5)
Контрольные вопросы
1. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы квадра-
турная формула была точной для многочленов степени
12
−
≤
n
.
2.
Квадратурная формула, имеющая наивысшую степень точно-
сти.
3.
При каких условиях коэффициенты точной квадратурной фор-
мулы положительные?
4.
Остаток квадратуры наивысшей степени точности.
5.
Понятие сходимости квадратурного процесса на примере ко-
нечного интервала и непрерывной функции.
6.
Узлы, коэффициенты и остаток формулы Гаусса. 
                       1                 n
                                       ( n)   (n)
                       ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ),                      (3)
                      −1                k =1

имеющую наивысшую степень точности 2n − 1 . Узлы ее нужно взять
в корнях многочлена Лежандра степени n :

                                 Pn ( xk( n) ) = 0.

   Простые вычисления с помощью формул (4) и (5) разд. 1 этой
лекции дадут коэффициенты в виде

                      Ak(n ) =
                                      2
                                                         (4)
                        ⎡     (
                        ⎢1 − xk
                        ⎣
                                      ( ) [ ( )]
                                n ) 2 ⎤ ' (n ) 2
                                      ⎥ Pn x k
                                      ⎦
  Выражение остаточного члена формулы Гаусса вычисляется по
формуле
                                               2
                      2 2 n +1    ⎡ ( n!) 2 ⎤ ( 2n)
          R( f ) =                ⎢         ⎥ f     (η), η ∈ [−1, 1].   (5)
                   (2n + 1)(2n)! ⎣⎢ (2n)! ⎦⎥

                    Контрольные вопросы
   1. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы квадра-
турная формула была точной для многочленов степени ≤ 2n − 1 .
   2. Квадратурная формула, имеющая наивысшую степень точно-
сти.
   3. При каких условиях коэффициенты точной квадратурной фор-
мулы положительные?
   4. Остаток квадратуры наивысшей степени точности.
   5. Понятие сходимости квадратурного процесса на примере ко-
нечного интервала и непрерывной функции.
   6. Узлы, коэффициенты и остаток формулы Гаусса.




                                        53

Страницы