Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

52
∫
∑
=
=
b
a
n
k
n
k
n
k
xPApPdx
1
)()(
)(
и для таких
n
выполняется неравенство
,2)(
1
)()(
∫∫
∑
ε<−
=
b
a
b
a
n
k
n
k
n
k
pdxxfApfdx
что доказывает формулу (7) и теорему.
2. Постоянная весовая функция
Исторически сложилось так, что первой найденной формулой
наивысшей степени точности является формула Гаусса. Она служит
для вычисления интегралов вида
∫
b
a
dxxf ,)( (1)
взятых по конечному отрезку ],[ ba с постоянным весом.
Линейным преобразованием всякий конечный отрезок ],[ ba мо-
жет быть преобразован в стандартный отрезок. Чтобы сделать более
простым использование свойств симметрии узлов
k
x
и коэффициен-
тов
k
A , за такой стандартный отрезок мы примем [–1, 1] и будем
считать, что интеграл (1) приведен к виду
∫
−
1
1
.)( dxxf (2)
Ортогональную систему многочленов с постоянным весом на от-
резке [–1, 1] образуют многочлены Лежандра:
.
)1(
!2
1
)(
2
n
nn
n
n
dx
xd
n
xP
−
=
Построим квадратурную формулу с n узлами: 
                       b               n
                                   ( n)  ( n)
                       ∫ pPdx = ∑ Ak P( xk )
                       a            k =1
и для таких n выполняется неравенство
                 b          n                          b
                              (n)    (n)
                  ∫ pfdx − ∑ Ak f ( xk ) < 2ε ∫ pdx,
                  a        k =1                        a
что доказывает формулу (7) и теорему.
              2. Постоянная весовая функция
   Исторически сложилось так, что первой найденной формулой
наивысшей степени точности является формула Гаусса. Она служит
для вычисления интегралов вида
                                   b
                                   ∫ f ( x)dx,                 (1)
                                   a

взятых по конечному отрезку [a, b] с постоянным весом.
   Линейным преобразованием всякий конечный отрезок [a, b] мо-
жет быть преобразован в стандартный отрезок. Чтобы сделать более
простым использование свойств симметрии узлов xk и коэффициен-
тов Ak , за такой стандартный отрезок мы примем [–1, 1] и будем
считать, что интеграл (1) приведен к виду
                                       1
                                       ∫ f ( x)dx.             (2)
                                    −1

   Ортогональную систему многочленов с постоянным весом на от-
резке [–1, 1] образуют многочлены Лежандра:

                                   1 d n ( x 2 − 1) n
                      Pn ( x) =                            .
                                  2 n n!        dx n

  Построим квадратурную формулу с n узлами:



                                           52

Страницы