Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

50
Теорема доказана.
Перейдем к изучению остатка квадратуры.
Теорема 4. Если f имеет производную порядка n2 на ],[ ba , то
существует такая точка ],[ ba
∈
η
,что для остатка квадратуры наи-
высшей степени точности верно равенство
∫
≤η≤ω
η
=
b
a
n
badxxxp
n
f
fR .,)()(
)!2(
)(
)(
2
)2(
(6)
Доказательство
. Построим интерполяционный многочлен )(xH
степени
12 −≤ n , удовлетворяющий условиям
).()(),()(
kkkk
xfxHxfxH
′
=
′
=
Остаток интерполирования )()()( xHxfxr
−
=
имеет следующее
представление:
()
(
)
(
)
()
()
x
n
f
xr
n
2
2
!2
ω
ξ
= ,
где ξ – некоторая точка, лежащая между
x
и узлами
k
x .
Таким образом,
∫∫ ∫
ωξ+=
b
a
b
a
b
a
n
dxxfxp
n
dxxHxpdxxfxp .)()()(
)!2(
1
)()()()(
2)2(
Поскольку квадратурная формула верна для всех многочленов
степени
12 −≤ n
, а степень многочлена )(xH также
12
−
≤
n
, то
∫
∑∑
==
==
b
a
n
k
n
k
kkkk
xfAxHAdxxHxp
11
)()()()(
и для остатка квадратуры имеет место равенство
∫
ωξ=
b
a
n
dxxxpf
n
fR .)()()(
)!2(
1
)(
2)2(
Теорема доказана. 
  Теорема доказана.
  Перейдем к изучению остатка квадратуры.
  Теорема 4. Если f имеет производную порядка 2n на [a, b] , то
существует такая точка η ∈ [ a, b] ,что для остатка квадратуры наи-
высшей степени точности верно равенство

                               f ( 2n) (η) b       2
                    R( f ) =               ∫ p( x)ω ( x)dx, a ≤ η ≤ b.                   (6)
                                 ( 2n)! a
   Доказательство. Построим интерполяционный многочлен H (x)
степени ≤ 2n − 1 , удовлетворяющий условиям
                    H ( xk ) = f ( xk ), H ′( xk ) = f ′( xk ).
   Остаток интерполирования r ( x) = f ( x) − H ( x) имеет следующее
представление:
                                          f (2n ) (ξ ) 2
                               r (x ) =               ω (x ) ,
                                            (2n ) !
где ξ – некоторая точка, лежащая между x и узлами xk .
   Таким образом,
      b                 b
                                                     1 b           ( 2n)
      ∫ p( x) f ( x)dx = ∫ p( x) H ( x)dx +              ∫ p( x) f       (ξ)ω2 ( x)dx.
      a                 a                          (2n)! a
   Поскольку квадратурная формула верна для всех многочленов
степени ≤ 2n − 1 , а степень многочлена H (x) также ≤ 2n − 1 , то
                b                         n                   n
                ∫ p( x) H ( x)dx = ∑ Ak H ( xk ) = ∑ Ak f ( xk )
                a                     k =1                   k =1

и для остатка квадратуры имеет место равенство

                                 1 b ( 2n)
                    R( f ) =         ∫ f   (ξ) p ( x)ω2 ( x)dx.
                               (2n)! a

  Теорема доказана.



                                              50

Страницы