Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

55
1.
Если функции f заданы таблично, то мы будем сильно стес-
нены в выборе узлов и должны считать, что
k
x берутся только из
числа табличных значений аргументов.
2. Пусть мы хотим построить квадратурную формулу, имеющую
наименьшую оценку остатка для всех функций с непрерывной про-
изводной порядка
r
, удовлетворяющей условию
r
r
Mf ≤
)(
. Чтобы
можно было выполнить оценку остатка для таких функций, мы
должны считать, что квадратурная формула верна для всевозможных
многочленов степени 1
−
≤
r
. Это равносильно выполнению следую-
щего равенства:
∑
∫
=
−==
n
k
b
a
ii
kk
ridxpxxA
1
).1,,1,0( K (3)
Линейным преобразованием отрезок ],[ ba всегда можно свести к
отрезку ]1,0[, будем считать, что это преобразование выполнено.
2. Минимизация остатка в классах функций
)(r
q
L
Функция f принадлежит классу
)(r
q
L )1( ≥q , если f имеет на
]1,0[ абсолютно непрерывную производную порядка 1
−
r
и произ-
водная порядка
r
суммируема со степенью q на ]1,0[.
Всякая функция
)(r
q
Lf ∈ может быть представлена в форме
∑
∫
−
=
−
−
−
−+=
1
0
1
0
1
)(
)(
,
)!1(
)(
)()(
!
)0(
)(
r
i
r
ri
i
dt
r
tx
txEtfx
i
f
xf (1)
где
)0(
)(i
f
есть числа и
)(
)(
tf
r
– некоторая измеримая и сумми-
руемая на отрезке ]1,0[ со степенью q функция.
Рассмотрим интеграл
∫
ρ
1
0
)()( dxxfx , где
)(r
q
Lf ∈ , весовая функция
)(xρ измерима и суммируема на отрезке ]1,0[. 
   1. Если функции f заданы таблично, то мы будем сильно стес-
нены в выборе узлов и должны считать, что xk берутся только из
числа табличных значений аргументов.
   2. Пусть мы хотим построить квадратурную формулу, имеющую
наименьшую оценку остатка для всех функций с непрерывной про-
изводной порядка r , удовлетворяющей условию f ( r ) ≤ M r . Чтобы
можно было выполнить оценку остатка для таких функций, мы
должны считать, что квадратурная формула верна для всевозможных
многочленов степени ≤ r − 1 . Это равносильно выполнению следую-
щего равенства:
                          n          b
                         ∑ Ak xki = ∫ px i dx (i = 0,1,K, r − 1).                          (3)
                      k =1           a
   Линейным преобразованием отрезок [a, b] всегда можно свести к
отрезку [0, 1] , будем считать, что это преобразование выполнено.

    2. Минимизация остатка в классах функций                                       L(r
                                                                                    q
                                                                                       )


   Функция f принадлежит классу L(r
                                 q
                                    )
                                      (q ≥ 1) , если f имеет на
[0, 1] абсолютно непрерывную производную порядка r − 1 и произ-
водная порядка r суммируема со степенью q на [0, 1] .
   Всякая функция f ∈ L(r )
                       q может быть представлена в форме
                   r −1 f ( i ) ( 0) i 1 ( r )               ( x − t ) r −1
            f ( x) = ∑              x + ∫ f (t ) E ( x − t )                dt ,           (1)
                   i =0      i!         0                      ( r − 1)!

где f (i ) (0) есть числа и f ( r ) (t ) – некоторая измеримая и сумми-
руемая на отрезке [0, 1] со степенью q функция.
                              1
   Рассмотрим интеграл ∫ ρ( x) f ( x)dx , где f ∈ L(r )
                                                   q , весовая функция
                              0
ρ(x) измерима и суммируема на отрезке [0,1] .



                                         55

Страницы