Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

57
От выбора
k
x и
k
A зависит только интеграл
()
∫
1
0
dttK
p
. Нужно
подобрать веса и узлы таким образом, чтобы интеграл имел наи-
меньшее значение. Если такие
k
x
и
k
A
существуют, то соответст-
вующая им квадратурная формула считается «наилучшей» во всем
классе
)(r
q
L .
Задача минимизации
()
∫
1
0
dttK
p
может быть истолкована как за-
дача наилучшего приближения в метрике
p
L функции
dx
r
tx
x
r
)!1(
)(
)(
1
1
0
−
−
ρ
−
∫
с помощью функций вида
.
)!1(
)(
)(
1
1
−
−
−
−
=
∑
r
tx
txEA
r
n
k
kk
При произвольных rx),(ρ и
n такая задача в конечном виде не
решается. Рассмотрим несколько частных случаев, когда решение
может быть найдено.
Будем считать вес постоянным: 1)(
≡
xp и рассмотрим квадратур-
ную формулу
∫
∑
=
+=
1
0
1
).()()(
n
k
kk
fRxfAdxxf (6)
Предположим f абсолютно непрерывной и производную f
′
суммируемой со степенью q . Это соответствует случаю 1
=
r
. Фор-
мулу (6) будем считать точной, если 1
=
f . Тогда коэффициенты
должны подчиняться условию
∑
=
=
n
k
k
A
1
1.
Остаток )( fR в классе
)1(
q
L имеет точную оценку 
                                                                  1
    От выбора xk и Ak зависит только интеграл ∫ K (t ) dt . Нужно
                                                                           p

                                                                  0
подобрать веса и узлы таким образом, чтобы интеграл имел наи-
меньшее значение. Если такие xk и Ak существуют, то соответст-
вующая им квадратурная формула считается «наилучшей» во всем
классе L(r
        q .
           )

                             1
    Задача минимизации ∫ K (t ) dt может быть истолкована как за-
                                  p

                             0
дача     наилучшего     приближения               в     метрике       Lp       функции
1
       ( x − t ) r −1
∫ ρ( x) (r − 1)! dx с помощью функций вида
0
                         n                     ( x − t ) r −1
                        ∑ Ak E ( xk − t )                     .
                        k =1                     (r − 1)!
  При произвольных ρ( x), r и n такая задача в конечном виде не
решается. Рассмотрим несколько частных случаев, когда решение
может быть найдено.
  Будем считать вес постоянным: p ( x) ≡ 1 и рассмотрим квадратур-
ную формулу
                         1               n
                         ∫ f ( x)dx = ∑ Ak f ( xk ) + R( f ).                      (6)
                         0              k =1
   Предположим f абсолютно непрерывной и производную f ′
суммируемой со степенью q . Это соответствует случаю r = 1 . Фор-
мулу (6) будем считать точной, если f = 1 . Тогда коэффициенты
должны подчиняться условию
                                  n
                                 ∑ Ak = 1 .
                                 k =1

    Остаток R ( f ) в классе L(q1) имеет точную оценку



                                        57

Страницы