Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

58
1
11
11
00
sup ( ) ( ) , ;
p
pq
q
f
R
Rf M Kt dt M f dx
⎧⎫
′
== =
⎨⎬
⎩⎭
∫∫
∑
=
−−−=
n
k
kk
txEAttK
1
)(1)(.
Ядро остатка )(tK есть кусочно-линейная функция со старшим
коэффициентом, равным –1, для которой узлы
k
x
являются точками
разрыва. Скачок функции )(tK в узле
k
x равен коэффициенту
k
A .
Если
k
x лежат внутри отрезка ]1,0[, то на концах при 0
=
t и 1=t
ядро обращается в нуль.
Задача минимизации интеграла
()
∫
1
0
dttK
p
при условии
∑
=
=
n
k
k
A
1
1
дает ответ: узлы
k
x должны быть расположены в точках
),,2,1(
2
12
nk
n
k
x
k
K=
−
= . Коэффициенты
k
A все должны быть
одинаковыми, и так как сумма их равна 1, то
),,2,1(
1
nk
n
A
k
K==
.
Соответствующая квадратурная формула имеет вид
∫
∑
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
0
1
)(
2
121
)(
n
k
fR
n
k
f
n
dxxf (7)
и является хорошо известной формулой прямоугольников с ордина-
тами в средних точках. Остаток ее в классе
)1(
q
L имеет оценку
.1
11
,,
12
1
)(
1
1
0
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′
=
+
≤
∫
qp
dtfM
pn
MfR
q
q
p
3. Минимизация остатка в классах функций
r
C 
                                                1
                            ⎧1            ⎫p        1
       R = sup R( f ) = M 1 ⎨ ∫ K (t ) dt ⎬ , M 1 = ∫ f ′ dx;
                                      p          q       q

            f
                            ⎩0            ⎭         0

                                       n
                      K (t ) = 1 − t − ∑ Ak E ( xk − t ) .
                                      k =1
   Ядро остатка K (t ) есть кусочно-линейная функция со старшим
коэффициентом, равным –1, для которой узлы xk являются точками
разрыва. Скачок функции K (t ) в узле xk равен коэффициенту Ak .
Если xk лежат внутри отрезка [0,1] , то на концах при t = 0 и t = 1
ядро обращается в нуль.
                                           1                            n
  Задача минимизации интеграла ∫ K (t ) dt при условии ∑ Ak = 1
                                                 p

                                           0                           k =1
дает ответ: узлы xk должны быть расположены в точках
     2k − 1
xk =        (k = 1, 2, K , n) . Коэффициенты Ak все должны быть
      2n
                                                 1
одинаковыми, и так как сумма их равна 1, то Ak =   (k = 1, 2,K , n) .
                                                 n
   Соответствующая квадратурная формула имеет вид
                       1
                                     1 n ⎛ 2k − 1 ⎞
                        ∫ f ( x)dx = n ∑ f ⎜ 2n ⎟ + R( f )                    (7)
                        0              k =1 ⎝     ⎠
и является хорошо известной формулой прямоугольников с ордина-
тами в средних точках. Остаток ее в классе L(q1) имеет оценку
                                                       1
                       1              ⎧⎪1 q ⎫⎪ q             ⎛1 1     ⎞
       R( f ) ≤ M1            , M 1 =  ⎨ ∫ f ′ dt ⎬ ,        ⎜⎜ + = 1⎟⎟ .
                   2n p p + 1          ⎪⎩0        ⎪⎭          ⎝p q    ⎠

     3. Минимизация остатка в классах функций                           Cr




                                      58

Страницы