ВУЗ:
Составители:
56
Пусть для приближенного вычисления интеграла взята некоторая
квадратурная сумма
∫
∑
=
≈ρ
1
0
1
).(
n
k
kk
xfAfdx (2)
Мы хотим получить формулу, которую будем считать «наилуч-
шей» для всех функций
)(r
q
Lf ∈ )1( ≥q , если равенство (2) является
точным для всевозможных многочленов степени
r
<
. Если восполь-
зоваться представлением (1) функций класса
)(r
q
L , то остаток квадра-
туры )( fR
можно привести к виду
∫
∑
∫
=
=−ρ=
1
0
1
1
0
)(
,)()()()(
n
k
r
kk
dttKtfxfAfdxfR (3)
∫
∑
−
−
−−
−
−
ρ=
−
=
−
1
0
1
1
1
.
)!1(
)(
)(
)!1(
)(
)()(
r
tx
txEAdx
r
tx
xtK
r
k
n
k
kk
r
(4)
Рассмотрим множество Ff
=
}{ функций f , удовлетворяющих
условию
1
1
()
0
.
q
q
r
r
f
dt M
⎧⎫
≤
⎨⎬
⎩⎭
∫
Согласно неравенству Гельдера, для )( fR
в классе
F
имеет ме-
сто оценка
()
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
≤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
≤
∫∫∫
1
0
1
1
0
1
1
0
dtKMdtKdtffR
p
r
p
p
q
q
r
, .1
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+
qp
Поэтому точная верхняя граница равна
() ()
p
p
r
F
dttKMfRR
1
1
0
sup
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
∫
. (5)
Пусть для приближенного вычисления интеграла взята некоторая квадратурная сумма 1 n ∫ ρfdx ≈ ∑ Ak f ( xk ). (2) 0 k =1 Мы хотим получить формулу, которую будем считать «наилуч- шей» для всех функций f ∈ L(r ) q ( q ≥ 1) , если равенство (2) является точным для всевозможных многочленов степени < r . Если восполь- зоваться представлением (1) функций класса L(r ) q , то остаток квадра- туры R ( f ) можно привести к виду 1 n 1 R ( f ) = ∫ ρfdx − ∑ Ak f ( xk ) = ∫ f ( r ) (t ) K (t )dt , (3) 0 k =1 0 1 ( x − t ) r −1 n ( x − t ) r −1 K (t ) = ∫ ρ( x) dx − ∑ Ak E ( x k − t ) k . (4) 0 (r − 1)! k =1 (r − 1)! Рассмотрим множество { f } = F функций f , удовлетворяющих условию 1 ⎧ 1 (r ) q ⎫q ⎨∫ f dt ⎬ ≤ M r . ⎩0 ⎭ Согласно неравенству Гельдера, для R ( f ) в классе F имеет ме- сто оценка 1 1 ⎡1 q ⎤ q ⎡1 p ⎤p ⎡1 p ⎤ ⎛1 1 ⎞ R ( f ) ≤ ⎢ ∫ f (r ) dt ⎥ ⋅ ⎢ ∫ K dt ⎥ ≤ M r ⎢ ∫ K dt ⎥ , ⎜⎜ + = 1⎟⎟. ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎝p q ⎠ Поэтому точная верхняя граница равна 1 ⎧⎪1 p ⎫ ⎪p R = sup R( f ) = M r ⎨ ∫ K (t ) dt ⎬ . (5) F ⎪⎩0 ⎪⎭ 56
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »