Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
Пусть для приближенного вычисления интеграла взята некоторая
квадратурная сумма
∫
∑
=
≈ρ
1
0
1
).(
n
k
kk
xfAfdx (2)
Мы хотим получить формулу, которую будем считать «наилуч-
шей» для всех функций
)(r
q
Lf ∈ )1( ≥q , если равенство (2) является
точным для всевозможных многочленов степени
r
<
. Если восполь-
зоваться представлением (1) функций класса
)(r
q
L , то остаток квадра-
туры )( fR
можно привести к виду
∫
∑
∫
=
=−ρ=
1
0
1
1
0
)(
,)()()()(
n
k
r
kk
dttKtfxfAfdxfR (3)
∫
∑
−
−
−−
−
−
ρ=
−
=
−
1
0
1
1
1
.
)!1(
)(
)(
)!1(
)(
)()(
r
tx
txEAdx
r
tx
xtK
r
k
n
k
kk
r
(4)
Рассмотрим множество Ff
=
}{ функций f , удовлетворяющих
условию
1
1
()
0
.
q
q
r
r
f
dt M
⎧⎫
≤
⎨⎬
⎩⎭
∫
Согласно неравенству Гельдера, для )( fR
в классе
F
имеет ме-
сто оценка
()
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
≤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
≤
∫∫∫
1
0
1
1
0
1
1
0
dtKMdtKdtffR
p
r
p
p
q
q
r
, .1
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+
qp
Поэтому точная верхняя граница равна
() ()
p
p
r
F
dttKMfRR
1
1
0
sup
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
∫
. (5) 
   Пусть для приближенного вычисления интеграла взята некоторая
квадратурная сумма
                                        1               n
                                        ∫ ρfdx ≈ ∑ Ak f ( xk ).                       (2)
                                        0           k =1
  Мы хотим получить формулу, которую будем считать «наилуч-
шей» для всех функций f ∈ L(r )
                           q ( q ≥ 1) , если равенство (2) является
точным для всевозможных многочленов степени < r . Если восполь-
зоваться представлением (1) функций класса L(r )
                                            q , то остаток квадра-
туры R ( f ) можно привести к виду
                             1     n                            1
                R ( f ) = ∫ ρfdx − ∑ Ak f ( xk ) = ∫ f ( r ) (t ) K (t )dt ,          (3)
                             0              k =1                0
                  1
                             ( x − t ) r −1      n                 ( x − t ) r −1
          K (t ) = ∫ ρ( x)                  dx − ∑ Ak E ( x k − t ) k             .   (4)
                  0            (r − 1)!         k =1                  (r − 1)!
   Рассмотрим множество { f } = F функций f , удовлетворяющих
условию
                                                            1
                                     ⎧ 1 (r ) q ⎫q
                                     ⎨∫ f      dt ⎬ ≤ M r .
                                     ⎩0           ⎭
   Согласно неравенству Гельдера, для R ( f ) в классе F имеет ме-
сто оценка
                                 1                  1
             ⎡1        q ⎤ q ⎡1     p ⎤p        ⎡1 p ⎤                  ⎛1 1     ⎞
   R ( f ) ≤ ⎢ ∫ f (r ) dt ⎥ ⋅ ⎢ ∫ K dt ⎥ ≤ M r ⎢ ∫ K dt ⎥ ,            ⎜⎜ + = 1⎟⎟.
             ⎢⎣0           ⎥⎦ ⎢⎣0       ⎥⎦      ⎢⎣0      ⎥⎦              ⎝p q    ⎠
  Поэтому точная верхняя граница равна
                                                                    1
                                           ⎧⎪1       p ⎫ ⎪p
                      R = sup R( f ) = M r ⎨ ∫ K (t ) dt ⎬ .                          (5)
                           F                ⎪⎩0          ⎪⎭




                                                   56

Страницы