Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
Мы должны так подобрать
k
x и
k
A
, чтобы
()
∫
1
0
dttK имел наи-
меньшее значение при выполнении условий
)1,,1,0(
1
1
1
−=
+
=
∑
=
ri
i
xA
n
k
i
kk
K . (5)
Положим 1=
r
и рассмотрим класс функций, непрерывно диффе-
ренцируемых на отрезке ]1,0[. В этом случае мы должны требовать,
чтобы квадратурная формула давала точный результат для постоян-
ной величины, что равносильно выполнению условия связи
∑
=
=
n
k
k
A
1
1.
Ядро
)(tK
имеет значение
∑
=
−−−=
n
k
kk
txEAttK
1
)(1)(.
Решение задачи минимизации остатка в классе функций
1
C имеет
оценку
() ()
11
,
4
1
Mxf
n
MfR ≤
′
≤ .
Рассмотрим класс дважды дифференцируемых функций и поло-
жим .2=r
Считая, что минимум ядра существует, применим к нахождению
минимума ядра правила нахождения условного экстремума функции.
Составим вспомогательную функцию
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−λ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−λ+=
∑∑
==
n
k
kk
n
k
k
xAAUF
1
2
1
1
2
1
1
и приравняем нулю ее частные производные по узлам
k
x и коэффи-
циентам
k
A
: 
                                                             1
  Мы должны так подобрать xk и Ak , чтобы ∫ K (t ) dt имел наи-
                                                             0
меньшее значение при выполнении условий
                        n                1
                       ∑ Ak xki =           (i = 0,1,K, r − 1) .   (5)
                      k =1             i +1
   Положим r = 1 и рассмотрим класс функций, непрерывно диффе-
ренцируемых на отрезке [0, 1] . В этом случае мы должны требовать,
чтобы квадратурная формула давала точный результат для постоян-
ной величины, что равносильно выполнению условия связи
                                  n
                                 ∑ Ak = 1 .
                                k =1
  Ядро K (t ) имеет значение
                                        n
                     K (t ) = 1 − t − ∑ Ak E ( xk − t ) .
                                       k =1

   Решение задачи минимизации остатка в классе функций C1 имеет
оценку
                                      1
                      R( f ) ≤ M 1       , f ′(x ) ≤ M 1 .
                                      4n
  Рассмотрим класс дважды дифференцируемых функций и поло-
жим r = 2.
  Считая, что минимум ядра существует, применим к нахождению
минимума ядра правила нахождения условного экстремума функции.
Составим вспомогательную функцию
                          ⎛ n        ⎞        ⎛ n        1⎞
              F = U + λ1 ⎜⎜ ∑ Ak − 1⎟⎟ + λ 2 ⎜⎜ ∑ Ak xk − ⎟⎟
                          ⎝ k =1     ⎠        ⎝ k =1     2⎠

и приравняем нулю ее частные производные по узлам xk и коэффи-
циентам Ak :



                                       60

Страницы