Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

61
∫
=λ+−−=
∂
∂
1
0
2
,0)1()(
iii
i
AdtxEtSA
x
F
(6)
(
)
(
)
tKtS sign
=
,
∫
=λ+λ+−−−=
∂
∂
1
0
21
0))(()(
iii
i
xdttxtxEtS
A
F
(7)
).,,2,1( ni
K
=
Отсюда видно, что для каждого отрезка
],[
1+ii
xx
должно быть
∫∫
++
−===
11
).1,,2,1(0)(,0)(
i
i
i
i
x
x
x
x
nidtttSdttS K
Следовательно, на каждом отрезке
],[
1+ii
xx ядро
)(tK
есть мно-
гочлен второй степени со старшим членом
2
2
1
t , наименее уклоняю-
щийся от нуля в метрике L на
],[
1+ii
xx . Известно, что среди много-
членов степени
n наименее отклоняться от нуля в метрике L на от-
резке ]1,1[− будет многочлен
() ()
(
)
2
12
arccos1sin
2
1
x
xn
xUxP
n
n
n
n
−
+
==
В частности, при 2=n это будет многочлен
4
1
)(
2
2
−= xxP .
С помощью линейного преобразования ,xht
ii
+α
=
,
2
1+
+
=α
ii
i
xx
2
1 ii
i
xx
h
−
=
+
перейдем от отрезка ]1,1[
−
к отрезку
],[
1+ii
xx . Ядро остатка
)(tK
примет вид
.,
2
)(
12
2
+
≤≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
ii
i
ii
xtx
h
xt
P
h
tK 
                                 1
                      ∂F
                          = − Ai ∫ S (t ) E ( xi − 1)dt + λ 2 Ai = 0,                      (6)
                      ∂xi        0
                                         S (t ) = signK (t ) ,
                    1
             ∂F
                 = − ∫ S (t ) E ( xi − t )( xi − t )dt + λ1 + λ 2 xi = 0                   (7)
             ∂Ai    0
                                         (i = 1, 2, K, n).
   Отсюда видно, что для каждого отрезка [ xi , xi +1 ] должно быть
             xi +1                       xi +1
              ∫ S (t )dt = 0,             ∫ tS (t )dt = 0 (i = 1,2,K, n − 1).
              xi                          xi

   Следовательно, на каждом отрезке [ xi , xi +1 ] ядро K (t ) есть мно-
                                                1
гочлен второй степени со старшим членом t 2 , наименее уклоняю-
                                                2
щийся от нуля в метрике L на [ xi , xi +1 ] . Известно, что среди много-
членов степени n наименее отклоняться от нуля в метрике L на от-
резке [−1, 1] будет многочлен
                                 1                    sin (n + 1) arccos x
                     Pn (x ) =           U n (x ) =
                                     n
                                 2                          2n 1 − x 2
                                                                                    1
   В частности, при n = 2 это будет многочлен P2 ( x) = x 2 −                         .
                                                                                    4
   С           помощью        линейного     преобразования                      t = α i + hi x,
         x + xi +1         x −x
αi = i              , hi = i +1 i перейдем от отрезка [−1, 1] к отрезку
              2                2
[ xi , xi +1 ] . Ядро остатка K (t ) примет вид
                             h 2 ⎛ t − xi             ⎞
                     K (t ) = i P2 ⎜⎜                 ⎟⎟,    xi ≤ t ≤ xi +1.
                              2     ⎝ hi               ⎠




                                                 61

Страницы