Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

62
Исходя из вида ядра
)(tK
, повторяя рассуждения, проделанные
ранее, приходим к выводу, что справедливы следующие утвержде-
ния:
1. Узлы и коэффициенты должны иметь значения
[
]
,)1(23,
2
)1(43
1−
−+=
−+
= nhh
i
x
i
.
2
32
),1,,2(2
1
hAAnihA
ni
+
==−==
K
2.
Указанные узлы и коэффициенты доставляют наименьшее зна-
чение интегралу
()
∫
1
0
dttK и такие значения являются единственными.
3.
Остаток )( fR квадратурной формулы для указанных узлов и
коэффициентов имеет в классе
2
C оценку
.,
8
)(
2
2
2
Mf
h
MfR ≤
′′
≤
4.
Квадратурная сумма
∑
=
n
k
kk
xfA
1
)( есть сумма Римана и для вся-
кой интегрируемой на отрезке ]1,0[ в смысле Римана функции вы-
полняется равенство
∑
∫
=
∞→
=
n
k
kk
n
fdxxfA
1
1
0
.)(lim
4. Задача минимизации оценки остатка
квадратурной формулы
с закрепленными узлами
Построим квадратурную формулу с заданными узлами и с наи-
меньшей оценкой остатка. В приложениях чаще всего встречается
случай равноотстоящих узлов и постоянной весовой функции. Разде-
   Исходя из вида ядра K (t ) , повторяя рассуждения, проделанные
ранее, приходим к выводу, что справедливы следующие утвержде-
ния:
   1. Узлы и коэффициенты должны иметь значения

              xi =
                     3 + 4(i − 1)
                         2
                                  h, h =    [ 3 + 2(n − 1)]−1,
                                          2+ 3
            Ai = 2h (i = 2,K, n − 1),       A1 = An =
                                                h.
                                            2
  2. Указанные узлы и коэффициенты доставляют наименьшее зна-
                1
чение интегралу ∫ K (t ) dt и такие значения являются единственными.
                0
   3. Остаток R ( f ) квадратурной формулы для указанных узлов и
коэффициентов имеет в классе C 2 оценку

                                     h2
                      R( f ) ≤ M 2      ,    f ′′ ≤ M 2 .
                                     8
                              n
  4. Квадратурная сумма ∑ Ak f ( xk ) есть сумма Римана и для вся-
                             k =1
кой интегрируемой на отрезке [0, 1] в смысле Римана функции вы-
полняется равенство
                              n                1
                        lim ∑ Ak f ( xk ) = ∫ fdx.
                       n → ∞ k =1              0

          4. Задача минимизации оценки остатка
                  квадратурной формулы
                 с закрепленными узлами
   Построим квадратурную формулу с заданными узлами и с наи-
меньшей оценкой остатка. В приложениях чаще всего встречается
случай равноотстоящих узлов и постоянной весовой функции. Разде-




                                     62

Страницы