Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 64 стр.

                                              1
                          ⎧⎪1 q ⎫⎪ q
                           ⎨ ∫ f ′ dx ⎬ ≤ M 1 .
                           ⎪⎩0        ⎪⎭
   Если считать, что квадратурная формула будет точной в случае
 f = const и, следовательно, ее коэффициенты удовлетворяют перво-
му из условий (2), то для таких функций будет верна следующая
оценка остатка
                           1             1                 1
               ⎧⎪1 q ⎫⎪ q ⎧⎪1 p ⎫⎪ p         ⎧⎪1 p ⎫⎪ p
     R ( f ) ≤ ⎨ ∫ f ′ dx ⎬ ⎨ ∫ K dx ⎬ ≤ M 1 ⎨ ∫ K dx ⎬ = sup R ( f ) .
                ⎪⎩0       ⎪⎭ ⎪⎩0     ⎪⎭       ⎪⎩0     ⎪⎭   f


    От чисел Ak в оценке погрешности зависит лишь интеграл
1
∫ K (t ) dt , и коэффициенты Ak нужно выбрать так, чтобы придать
        p

0
интегралу наименьшее значение. Ядро остатка K (t ) имеет в данном
случае значение
                                          n      ⎛k ⎞
                         K (t ) = 1 − t − ∑ Ak E ⎜ − t ⎟
                                         k =1    ⎝n ⎠
и является линейной функцией на каждом из отрезков разбиения
                                                   n
                               K (t ) = 1 − t − ∑ Ak .
                                                  k =1
                           i
    В точках разбиения t =     (i = 1, 2, L, n) ядро K (t ) имеет разрыв
                           n
первого рода со скачком Ai и предельные значения его на концах
отрезка [0, 1] равны A0 и − An .
    Решая задачу на условный экстремум относительно функции
                     n
K (t ) при условии ∑ Ai = 1, получим
                    i =0




                                         64