Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

63
лим отрезок интегрирования ]1,0[ на
n
равных частей с шагом
n
h
1
= . В квадратурной формуле
∫
∑
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≈
1
0
0
)(
n
k
k
n
k
fAdxxf (1)
можно произвольно выбрать
1
+
n коэффициент
k
A
. Если потребо-
вать, чтобы равенство (1) было точным для всевозможных многочле-
нов степени n , то коэффициенты
k
A вполне определяются и форму-
ла (1) совпадает с интерполяционной формулой Ньютона – Котеса.
Будем считать, что формула (1) дает точный результат для многочле-
нов степени
nr <−1
. Это накладывает следующие ограничения на
выбор
k
A
:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−=
+
=
=
∑
∑
=
=
.1,,2,1,
1
,1
1
0
ri
i
n
kA
A
i
i
n
k
k
n
k
k
K
(2)
Если производная порядка 1
−
r
от f есть непрерывная функция,
то остаток квадратуры представим в форме
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
=
−
=
∑
∫
.
)!1(!
)1(
)(
,)()(
1
1
1
0
)(
r
t
n
k
t
n
k
EA
r
t
tK
dttKffR
r
n
k
k
r
r
(3)
Среди 1
+n чисел
k
A
остаются произвольными rn
−
+
1 и выбо-
ром их нужно воспользоваться для уменьшения оценки погрешности
квадратуры. На различных классах функций минимизация проводит-
ся по-разному.
Рассмотрим класс функций
)1(
q
L , для которых 
лим отрезок интегрирования [0, 1] на n равных частей с шагом
   1
h = . В квадратурной формуле
   n
                            1                 n ⎛ ⎞      k
                            ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ⎜ n ⎟            (1)
                            0           k =0    ⎝ ⎠
можно произвольно выбрать n + 1 коэффициент Ak . Если потребо-
вать, чтобы равенство (1) было точным для всевозможных многочле-
нов степени n , то коэффициенты Ak вполне определяются и форму-
ла (1) совпадает с интерполяционной формулой Ньютона – Котеса.
Будем считать, что формула (1) дает точный результат для многочле-
нов степени r − 1 < n . Это накладывает следующие ограничения на
выбор Ak :
                                    n                 ⎫
                                   ∑ Ak = 1,          ⎪
                              k =0                    ⎪
                                i                     ⎬      (2)
                    n         n
                          i
                    ∑ Ak k =       , i = 1,2,K, r − 1.⎪
                   k =1      i +1                     ⎪⎭
   Если производная порядка r − 1 от f есть непрерывная функция,
то остаток квадратуры представим в форме
                                   1                         ⎫
                         R( f ) = ∫ f ( r ) K (t )dt ,       ⎪
                                     0                       ⎪
                                                        r −1 ⎪   (3)
                                                 ⎛k   ⎞      ⎬
                              r    n             ⎜ − t⎟      ⎪
                     (1 − t )            ⎛k    ⎞ n ⎠
            K (t ) =            − ∑ Ak E ⎜ − t ⎟ ⎝          .⎪
                        r!        k =1   ⎝ n ⎠ (r − 1)! ⎪⎭
   Среди n + 1 чисел Ak остаются произвольными n + 1 − r и выбо-
ром их нужно воспользоваться для уменьшения оценки погрешности
квадратуры. На различных классах функций минимизация проводит-
ся по-разному.
  Рассмотрим класс функций L(q1) , для которых



                                        63

Страницы