Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

59
Функция f принадлежит классу
r
C , если она имеет непрерыв-
ную производную порядка
r
на отрезке ]1,0[. Характерное пред-
ставление функций
r
Cf ∈
дается равенством
∑
∫
−
=
−
−
−
−+=
1
0
1
1
0
)(
)(
)!1(
)(
)()(
!
)0(
)(
r
i
r
ri
i
dt
r
tx
txEtfx
i
f
xf , (1)
где )0(
)(i
f – любые числа и )(
)(
tf
r
– произвольная функция, непре-
рывная на отрезке ]1,0[.
Для построения квадратурной формулы
∫
∑
−
≈
1
0
1
)()(
n
k
kk
xfAdxxf , (2)
имеющей наименьшую оценку остатка в
r
C , мы должны считать, что
равенство (2) является точным для любого многочлена степени
r
< .
Тогда остаток (2) может быть представлен в виде
∫
=
1
0
)(
)()()( dttKtffR
r
, (3)
где
)!1(
)(
)(
!
)1(
)(
1
1
−
−
−−
−
=
−
=
∑
r
tx
txEA
r
t
tK
r
k
n
k
kk
r
.
Рассмотрим множество
F
функций
r
Cf
∈
, удовлетворяющих
условию
r
r
Mf ≤
)(
. На
F
верна оценка
() ()
∫
≤
1
0
dttKMfR
r
.
Верхняя грань оценки погрешности
() ()
∫
≤=
1
0
sup dttKMtRR
r
F
. (4) 
   Функция f принадлежит классу C r , если она имеет непрерыв-
ную производную порядка r на отрезке [0, 1] . Характерное пред-
ставление функций f ∈ Cr дается равенством
                          r −1 f ( i ) ( 0) i 1 ( r )              ( x − t ) r −1
               f ( x) = ∑                  x + ∫ f (t )E ( x − t )                dt ,   (1)
                          i =0      i!         0                     (r − 1)!

где f (i ) (0) – любые числа и f ( r ) (t ) – произвольная функция, непре-
рывная на отрезке [0, 1] .
   Для построения квадратурной формулы
                                    1                    n
                                     ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) ,                        (2)
                                    0                   k −1

имеющей наименьшую оценку остатка в C r , мы должны считать, что
равенство (2) является точным для любого многочлена степени < r .
Тогда остаток (2) может быть представлен в виде
                                                1
                                     R ( f ) = ∫ f ( r ) (t ) K (t )dt ,                 (3)
                                                0
где
                          (1 − t ) r   n                ( x − t ) r −1
               K (t ) =              − ∑ Ak E ( xk − t ) k             .
                             r!       k =1                 (r − 1)!
   Рассмотрим множество F функций f ∈ Cr , удовлетворяющих
условию f ( r ) ≤ M r . На F верна оценка

                                                    1
                                  R ( f ) ≤ M r ∫ K (t ) dt .
                                                    0
   Верхняя грань оценки погрешности
                                                               1
                                 R = sup R(t ) ≤ M r ∫ K (t ) dt .                       (4)
                                        F                      0




                                               59

Страницы