Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

47
∫∫ ∫
ρ+ω=
b
a
b
a
b
a
dxxxpdxxQxxpdxxfxp .)()()()()()()(
Первый из интегралов правой части равен нулю по условию орто-
гональности. Так как степень )(x
ρ
не больше
1
−
n
, а формула (1)
интерполяционная, то должно быть точным равенство
∫
∑
=
ρ=ρ
b
a
n
k
kk
xAdxxxp
1
).()()(
Ввиду того, что
),,,2,1()()( nkxxf
kk
K
=
ρ
=
должно быть вер-
ным равенство
∫
∑
=
=
b
a
n
k
kk
xfAdxxfxp
1
),()()(
и формула (1) действительно будет точной для произвольных много-
членов степени 12 −≤ n . Теорема доказана.
Вопрос о возможности построения квадратурной формулы связан
с существованием многочлена )(x
ω
степени n , обладающего свой-
ством ортогональности (2). Если весовая функция )(xp изменяет
знак на ],,[ ba то многочлен )(x
ω
может не существовать. Корни
многочлена могут не удовлетворять указанным выше условиям. По-
этому потребуем, чтобы вес )(xp был неотрицательной функцией на
],[ ba . Из теории ортогональных многочленов известно, что много-
член )(xω степени n , ортогональный по весу )(xp ко всем много-
членам меньших степеней, будет существовать
при всяких n . Корни
многочлена будут действительными, различными и лежать внутри
отрезка интегрирования. Поэтому справедливо утверждение:
если вес 0)( ≥xp , то квадратурная формула (1), точная для всяких
многочленов степени
12
−
≤ n
, существует при всех K,2,1
=
n .
Осталось выяснить, будет ли 12
−
n наивысшей алгебраической
степенью точности формулы (1). Для знакопостоянного веса спра-
ведлива теорема 2. 
           b                b                        b
           ∫ p( x) f ( x)dx = ∫ p( x)ω( x)Q( x)dx + ∫ p( x)ρ( x)dx.
           a                a                        a
   Первый из интегралов правой части равен нулю по условию орто-
гональности. Так как степень ρ(x) не больше n − 1 , а формула (1)
интерполяционная, то должно быть точным равенство
                       b                    n
                       ∫ p( x)ρ( x)dx = ∑ Ak ρ( xk ).
                       a                   k =1
  Ввиду того, что f ( xk ) = ρ( xk ) ( k = 1,2,K, n), должно быть вер-
ным равенство
                      b                     n
                       ∫ p( x) f ( x)dx = ∑ Ak f ( xk ),
                      a                    k =1
и формула (1) действительно будет точной для произвольных много-
членов степени ≤ 2n − 1 . Теорема доказана.
    Вопрос о возможности построения квадратурной формулы связан
с существованием многочлена ω(x) степени n , обладающего свой-
ством ортогональности (2). Если весовая функция p (x) изменяет
знак на [a, b], то многочлен ω(x) может не существовать. Корни
многочлена могут не удовлетворять указанным выше условиям. По-
этому потребуем, чтобы вес p (x) был неотрицательной функцией на
[a, b] . Из теории ортогональных многочленов известно, что много-
член ω(x) степени n , ортогональный по весу p (x) ко всем много-
членам меньших степеней, будет существовать при всяких n . Корни
многочлена будут действительными, различными и лежать внутри
отрезка интегрирования. Поэтому справедливо утверждение:
    если вес p( x) ≥ 0 , то квадратурная формула (1), точная для всяких
многочленов степени ≤ 2n − 1 , существует при всех n = 1,2, K .
   Осталось выяснить, будет ли 2n − 1 наивысшей алгебраической
степенью точности формулы (1). Для знакопостоянного веса спра-
ведлива теорема 2.




                                      47

Страницы