Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

44
()
,
8
1
3
2
8
3
3
1
8
3
)(
8
1
)(
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++≈
b
a
HafHafHafafHdxxf (8)
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−=ξ
−
−=ω
ξ
=
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=ω
∫
b
a
abHf
ab
dxx
f
fR
HaxHaxHaxaxx
.),(
6480
)(
)(
!4
)(
)(
),(
3
2
3
1
)()(
)4(
5$
(9)
Пусть число
n кратно 3. Разделим ],[ ba на n равных частей с ша-
гом
n
ab
h
−
=
. Возьмем строенный отрезок ])3(,[ hkakha +
+
+
и
применим к нему правило трех восьмых. Записав такие равенства для
отрезков
],)3([,],6,3[],3,[ nhahnahahahaa
+
−
+
+
+
+ K
и сложив результаты, получим окончательную формулу правила трех
восьмых:
{}
∫
−−−
++++++++++++=
b
a
nnnn
fffffffffff
h
dxxf )(3)(2)(
8
3
)(
1254213630
KK
+
),( fR+ (10)
.),(
80
)(
)(
)4(
4
5
baf
n
ab
fR <ξ<ξ
−
−= (11)
Когда число частичных отрезков
n кратно 2 и 3, для вычисления
интеграла могут быть применены и правило парабол, и правило трех
восьмых. Обе эти формулы имеют одинаковую алгебраическую сте-
пень точности и одинаково просты в применении. Однако сравнение
остаточных членов в формулах (7) и (11) показывает, что применение
правила трех восьмых дает погрешность примерно в два раза больше.
Поэтому
чаще применяется формула Симпсона.
Контрольные вопросы
1. Понятие интерполяционных квадратурных формул.
2.
Необходимое и достаточное условия для того, чтобы квадра-
турная формула была интерполяционной. 
    b              ⎡1                                                          ⎤
                               3 ⎛       1 ⎞ 3 ⎛           2 ⎞ 1
    ∫ f ( x)dx ≈ H ⎢ 8 f (a) + 8 f ⎜ a + 3 H ⎟ + 8 f ⎜ a + 3 H ⎟ + 8 f (a + H )⎥, (8)
    a              ⎣               ⎝         ⎠       ⎝         ⎠               ⎦
                                  ⎛        1 ⎞⎛         2 ⎞                ⎫
                  ω( x) = ( x − a)⎜ x − a − H ⎟⎜ x − a − H ⎟( x − a − H ), ⎪
                                  ⎝        3 ⎠⎝         3 ⎠                ⎪
                            $    b                   5                     ⎬ (9)
                          f (ξ)               (b − a) ( 4)
                 R( f ) =
                             4! a
                                 ∫ ω( x)dx = − 6480 f (ξ), H = b − a.⎪⎪
                                                                           ⎭
   Пусть число n кратно 3. Разделим [a, b] на n равных частей с ша-
         b−a
гом h =       . Возьмем строенный отрезок [a + kh, a + ( k + 3)h] и
          n
применим к нему правило трех восьмых. Записав такие равенства для
отрезков
           [a, a + 3h],[a + 3h, a + 6h],K,[a + (n − 3)h, a + nh]
и сложив результаты, получим окончательную формулу правила трех
восьмых:
b
            3h
∫ f (x)dx = 8 {( f0 + fn ) + 2( f3 + f6 +K+ fn−3) + 3( f1 + f2 + f4 + f5 +K+ fn−2 + f n−1)} +
a
          + R ( f ),                                                                  (10)

                                       (b − a) 5
                          R( f ) = −               f ( 4) (ξ), a < ξ < b.
                                                               (11)
                                             4
                            80n
   Когда число частичных отрезков n кратно 2 и 3, для вычисления
интеграла могут быть применены и правило парабол, и правило трех
восьмых. Обе эти формулы имеют одинаковую алгебраическую сте-
пень точности и одинаково просты в применении. Однако сравнение
остаточных членов в формулах (7) и (11) показывает, что применение
правила трех восьмых дает погрешность примерно в два раза больше.
Поэтому чаще применяется формула Симпсона.
                           Контрольные вопросы
   1. Понятие интерполяционных квадратурных формул.
   2. Необходимое и достаточное условия для того, чтобы квадра-
турная формула была интерполяционной.


                                             44

Страницы