Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

41
Ввиду того, что коэффициенты при
)(
2
)1(
ξ
+n
f и )(
1
)1(
ξ
+n
f от-
личны от нуля и одного знака, а )(
)1(
xf
n+
есть непрерывная функ-
ция, то между
1
ξ и
2
ξ существует такая точка
ξ
, что
∫
ω
+
ξ
=
+
b
a
n
dxx
n
f
fR .)(
)!1(
)(
)(
)1(
(9)
Теорема доказана.
Из теоремы следуют два утверждения.
1.
Если число узлов 1
+
n в формуле (2) – четное, то алгебраиче-
ская степень точности (2) равна 1
+
n .
2.
Если число узлов 1
+
n в (2) – четное и функция f имеет не-
прерывную производную порядка 1
+
n на ],[ ba , то остаток форму-
лы (2) можно представить в форме
∫
+
=
b
a
n
dttKtffR ,)()()(
)1(
(10)
где ядро остатка )(tK есть знакопостоянная неположительная
функция на
],[ ba
:
∑
=
+
−+
−+−
+
−
=
n
k
n
k
n
n
tkha
tkhaEA
n
tb
tK
1
1
.
!
)(
)(
)!1(
)(
)( (11)
3. Простейшие формулы Ньютона – Котеса
Формулы Ньютона – Котеса с большим числом узлов редко при-
меняются в вычислительной практике. Предпочитают пользоваться
формулами с малым числом узлов. Для уменьшения погрешности
результата предварительно разбивают отрезок ],[ ba на достаточно
большое число малых интервалов и к каждому из них применяют
квадратурную формулу с малым числом узлов. 
   Ввиду того, что коэффициенты при f ( n +1) (ξ 2 ) и f ( n +1) (ξ1 ) от-
личны от нуля и одного знака, а f ( n +1) ( x) есть непрерывная функ-
ция, то между ξ1 и ξ 2 существует такая точка ξ , что

                                          f ( n +1) (ξ) b
                               R( f ) =                 ∫ ω( x)dx.                 (9)
                                           (n + 1)! a
   Теорема доказана.
   Из теоремы следуют два утверждения.
   1. Если число узлов n + 1 в формуле (2) – четное, то алгебраиче-
ская степень точности (2) равна n + 1 .
   2. Если число узлов n + 1 в (2) – четное и функция f имеет не-
прерывную производную порядка n + 1 на [a, b] , то остаток форму-
лы (2) можно представить в форме
                                           b
                                 R ( f ) = ∫ f ( n +1) (t ) K (t )dt ,            (10)
                                            a

где ядро остатка K (t ) есть знакопостоянная неположительная
функция на [a, b] :
                        (b − t ) n +1    n                   ( a + kh − t ) n
             K (t ) =                 − ∑ Ak E (a + kh − t )                  .   (11)
                          (n + 1)!      k =1                        n!

       3. Простейшие формулы Ньютона – Котеса
   Формулы Ньютона – Котеса с большим числом узлов редко при-
меняются в вычислительной практике. Предпочитают пользоваться
формулами с малым числом узлов. Для уменьшения погрешности
результата предварительно разбивают отрезок [a, b] на достаточно
большое число малых интервалов и к каждому из них применяют
квадратурную формулу с малым числом узлов.




                                           41

Страницы