Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

39
Отметим два следствия из этой теоремы.
1.
Если число узлов
1
+
n
в формуле (2) нечетное, то алгебраиче-
ская степень точности формулы равна 1
+
n.
Это видно из представления остатка в равенстве (7). Формула (2)
будет точной всякий раз, когда f есть многочлен степени 1+≤ n .
Если f есть многочлен степени
2
+
n , то
)2( +n
f будет величиной,
отличной от нуля и .0)(
≠
fR
2.
Будем считать, что производная
)2( +n
f существует и есть не-
прерывная на ],[ ba функция; составим представление остатка. По-
ложим
2+
=
nr
, для остатка получится выражение
∫
+
=
b
a
n
dttKtffR .)()()(
)2(
(8)
При 1)( ≡xp ядру остатка можно придать форму
∑
=
++
+
−+
−+−
+
−
=
n
k
n
k
n
n
tkha
tkhaEA
n
tb
tK
1
12
.
)!1(
)(
)(
)!2(
)(
)(
Видно, что ядро остатка )(tK есть неположительная функция с
постоянным знаком на ],[ ba . Действительно, из формулы (7) видно,
что коэффициент при )(
)2(
ξ
+n
f – отрицательный и должно выпол-
няться условие .0)( ≤tK
Докажем теорему 3, аналогичную теореме 2, но для четного числа
узлов.
Теорема 3. Если число узлов 1
+
n в формуле Ньютона – Коте-
са (2) четное и f имеет непрерывную на ],[ ba производную порядка
1+n , то внутри ],[ ba существует точка
ξ
такая, что для остатка
)( fR квадратуры (2) верно равенство (9). Коэффициент при
)(
)1(
ξ
+n
f
есть число отрицательное.
Доказательство
. Пусть n – нечетное число, а число узлов в фор-
муле (2) – четное. В этом случае многочлен )(x
ω
в точках, равноот-
стоящих от концов отрезка, принимает одинаковые значения: 
   Отметим два следствия из этой теоремы.
   1. Если число узлов n + 1 в формуле (2) нечетное, то алгебраиче-
ская степень точности формулы равна n + 1 .
   Это видно из представления остатка в равенстве (7). Формула (2)
будет точной всякий раз, когда f есть многочлен степени ≤ n + 1 .
Если f есть многочлен степени n + 2 , то f ( n + 2) будет величиной,
отличной от нуля и R ( f ) ≠ 0.

   2. Будем считать, что производная f ( n + 2) существует и есть не-
прерывная на [a, b] функция; составим представление остатка. По-
ложим r = n + 2 , для остатка получится выражение
                                         b
                              R ( f ) = ∫ f ( n + 2) (t ) K (t ) dt.             (8)
                                         a
  При p ( x) ≡ 1 ядру остатка можно придать форму

                    (b − t ) n + 2   n                    (a + kh − t ) n +1
         K (t ) =                  − ∑ Ak E (a + kh − t )                    .
                     (n + 2)! k =1                            (n + 1)!
   Видно, что ядро остатка K (t ) есть неположительная функция с
постоянным знаком на [a, b] . Действительно, из формулы (7) видно,
что коэффициент при f ( n + 2) (ξ) – отрицательный и должно выпол-
няться условие K (t ) ≤ 0.
   Докажем теорему 3, аналогичную теореме 2, но для четного числа
узлов.
   Теорема 3. Если число узлов n + 1 в формуле Ньютона – Коте-
са (2) четное и f имеет непрерывную на [a, b] производную порядка
n + 1 , то внутри [a, b] существует точка ξ такая, что для остатка
R( f ) квадратуры (2) верно равенство (9). Коэффициент при
f ( n +1) (ξ) есть число отрицательное.
   Доказательство. Пусть n – нечетное число, а число узлов в фор-
муле (2) – четное. В этом случае многочлен ω(x) в точках, равноот-
стоящих от концов отрезка, принимает одинаковые значения:

                                             39

Страницы