Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
Если в интеграле
∫
+ν+
ν+
ν
−−−−−=
ha
ha
dxnhaxhaxaxI
)1(
)())(( K заме-
нить переменную
x
, положив hyx
+
=
, то он преобразуется к виду
∫
ν+
−ν+
ν
=−−−−+−=
ha
ha
dyhnayayhayI
)1(
))1(()()( KK
=
∫
ν+
−ν+
=ω
−−
+−
ha
ha
dyy
nhay
hay
)1(
)(
.)1(,
1
hahaI
nha
ha
ν+<η<−ν+
−−η
+−η
=
−ν
Чтобы последовательность интегралов была убывающая, должно
выполняться неравенство anhha
+
η
−
<
+
−
η
, или h
n
a
2
1−
<−η .
Последнее неравенство выполняется, поскольку
.1
2
, h
n
hanha
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−≤ν<−η+<η
Проинтегрируем формулу (6) по частям и применим теорему о
среднем значении:
∫
=Ω+
′
−+Ω=
b
a
x
b
a
dxxnhaaxfnhaaxfxfR )(),,,(),,,()()( KK
∫
<η<Ω+η
′
−=
b
a
x
badxxnhaaf .,)(),,,( K
Так как
∫∫
∑
+
=ν
ν
+
+
+−+=+
1
00
1
2
1
)1(
11
),)((),,,(
n
t
n
n
n
thxatxfdtdtnhaaxf KK
то
∫∫
∑
+
=ν
ν
+
+
+−+−=+
′
1
00
1
2
1
)2(
111
.))(()1(),,,(
n
t
n
n
nx
thxatxftdtdtnhaaxf KK
Применим теорему о среднем к последнему интегралу: 
                                      a + (ν +1) h
     Если в интеграле I ν =                ∫ ( x − a)( x − a − h)K( x − a − nh)dx заме-
                                        a + νh
нить переменную x , положив x = y + h , то он преобразуется к виду
               a + νh
     Iν =           ∫ ( y − a + h)K ( y − a)K ( y − a − (n − 1)h)dy =
            a + (ν −1) h
              a + νh
                          y−a+h
        =       ∫                   ω( y )dy =
            a + (ν −1) h y − a − nh

            η−a +h
        =              I ν −1 , a + (ν − 1)h < η < a + νh.
            η − a − nh
   Чтобы последовательность интегралов была убывающая, должно
                                                             n −1
выполняться неравенство η − a + h < nh − η + a , или η − a <      h.
                                                               2
Последнее неравенство выполняется, поскольку
                                           ⎛n ⎞
                  η < a + nh, η − a < νh ≤ ⎜ − 1⎟h.
                                           ⎝2 ⎠
   Проинтегрируем формулу (6) по частям и применим теорему о
среднем значении:
                                                         b
                                           b
       R ( f ) = Ω( x) f ( x, a,K, a + nh) a − ∫ f x′ ( x, a,K, a + nh)Ω( x)dx =
                                                         a
                                                     b
                        = − f x′ (η, a,K, a + nh) ∫ Ω( x)dx, a < η < b.
                                                     a
     Так как
                                  1        tn                                    n +1
       f ( x, a,K, a + nh) = ∫ dt1 K ∫ dt n +1 f ( n +1) ( x + t1 (a − x) + h ∑ t ν ),
                                  0        0                                    ν=2
то
                              1       tn                                                n +1
 f x′ ( x, a,K , a + nh) = ∫ dt1 K ∫ dt n +1 (1 − t1 ) f ( n + 2) ( x + t1 (a − x) + h ∑ t ν ).
                              0        0                                                ν=2
     Применим теорему о среднем к последнему интегралу:


                                                 37

Страницы