Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

34
∫∫
ω==
b
a
b
a
n
dxxxxfxxpdxxrxpfR ),,,()()()()()(
1
K . (5)
В более развернутом виде выражение остатка квадратуры имеет
вид
∫∫∫∫
∑
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+ω=
−
=ν
−ννν
b
a
t
t
n
n
n
xxdxxxtxfdtdtdtxxpfR
n
.,)()()()(
0
1
00 0
1
1
)(
21
1
1
K (6)
Если воспользоваться остатком интерполирования в форме Ла-
гранжа
baf
n
x
xr
n
<ξ<ξ
ω
= ),(
!
)(
)(
)(
, то остаток квадратуры можно
представить в виде
∫
ξω=
b
a
n
dxfxxp
n
fR .)()()(
!
1
)(
)(
(7)
Если функция и ее производные ограничены на отрезке ],[ ba , т. е.
если выполняются неравенства
],,[,)(
)(
baxMxf
n
n
∈≤
(8)
то оценка квадратуры принимает вид
() ()()
∫
ω≤
b
a
n
dxxxpMfR . (9)
Если )()( xxp ω сохраняет знак на ],[ ba , то оценка (9) является
точной и улучшена быть не может. Более точная оценка остатка ин-
терполяционной квадратуры для ограниченных функций имеет вид
() ()
∫
≤
b
a
n
dttKMfR . (10)
2. Формулы Ньютона – Котеса
Среди интерполяционных формул наиболее широко известны
формулы Ньютона – Котеса. Они относятся к случаю постоянного
веса и конечного отрезка интегрирования. Рассмотрим интеграл 
                            b                    b
                   R ( f ) = ∫ p ( x)r ( x)dx = ∫ p( x)ω( x) f ( x, x1 ,K, xn )dx .      (5)
                            a                    a

   В более развернутом виде выражение остатка квадратуры имеет
вид
          b           1 t1          t n−1
                                                  ⎛     n                    ⎞
 R( f ) = ∫ p( x)ω( x) ∫ dt1 ∫ dt2 K ∫ dtn f (n) ⎜⎜ x + ∑ tν ( xν − xν −1 ) ⎟⎟dx, x0 = x. (6)
          a           0      0        0           ⎝ ν =1                     ⎠
   Если воспользоваться остатком интерполирования в форме Ла-
                   ω( x) ( n)
гранжа r ( x) =            f (ξ), a < ξ < b , то остаток квадратуры можно
                     n!
представить в виде
                                           1b
                                R( f ) =      ∫ p ( x)ω( x) f ( n) (ξ) dx.               (7)
                                           n! a
   Если функция и ее производные ограничены на отрезке [a, b] , т. е.
если выполняются неравенства
                                  f ( n) ( x) ≤ M n ,     x ∈ [a, b],                    (8)

то оценка квадратуры принимает вид
                                                 b
                                 R( f ) ≤ M n ∫ p (x )ω( x ) dx .                        (9)
                                                 a
   Если p ( x)ω( x) сохраняет знак на [a, b] , то оценка (9) является
точной и улучшена быть не может. Более точная оценка остатка ин-
терполяционной квадратуры для ограниченных функций имеет вид
                                                      b
                                     R( f ) ≤ M n ∫ K (t ) dt .                        (10)
                                                      a

                    2. Формулы Ньютона – Котеса
   Среди интерполяционных формул наиболее широко известны
формулы Ньютона – Котеса. Они относятся к случаю постоянного
веса и конечного отрезка интегрирования. Рассмотрим интеграл


                                               34

Страницы