Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

25
добиться того, чтобы формула (1) давала точный результат для воз-
можно большего числа первых функций
).(x
n
ω
В связи с этим вводится новое понятие: равенство (1) имеет сте-
пень точности m относительно функций (2), если оно верно для
m
ω
ωω ,,,
21
K
∫
∑
=
ω=ω
b
a
n
k
kiki
xAdxp
1
)( ),,2,1( mi K
=
и не верно для
1+
ω
m
. Этот путь выбора
k
x
и
k
A
есть путь повыше-
ния степени точности равенства (1). Особый интерес имеют форму-
лы, которые обладают наивысшей возможной степенью точности.
Если класс функций
F
задан, то при построении равенства (1) ос-
тается произвол в выборе системы функций
).,2,1( K
=
ω
n
n
Требова-
ние полноты, которому должна удовлетворять система, не полностью
определяет систему и дает широкие возможности выбора ).(x
n
ω
Приведем примеры выбора
).(x
n
ω
Пусть ],[ ba есть любой конеч-
ный отрезок. Известно, что если функция )(xf непрерывна на отрез-
ке ],[ ba , то для всякого
0>
ε
существует многочлен )(xP , отли-
чающийся от )(xf меньше чем на
ε
:
.)()( ε<− xPxf
Это свойство называется свойством полноты алгебраических мно-
гочленов в пространстве непрерывных функций
C
. Отсюда следует
полнота системы многочленов в смысле метрики (3).
Примем систему степеней
K,,,1:
2
xxx за функции ).(x
n
ω
Будем
считать, что равенство (1) имеет алгебраическую степень точнос-
ти m, если оно верно для всевозможных многочленов степени m и
не верно для многочленов степени
1
+
m . Это равносильно тому, что
равенство
∫
∑
−
=
b
a
n
k
i
kk
i
xAdxpx
1
выполняется для
mi ,,1,0 K= и не будет выполняться для 1+
=
mi . 
добиться того, чтобы формула (1) давала точный результат для воз-
можно большего числа первых функций ωn ( x).
   В связи с этим вводится новое понятие: равенство (1) имеет сте-
пень точности m относительно функций (2), если оно верно для
ω1 , ω2 ,K, ωm
                b            n
                 ∫ pωi dx = ∑ Ak ωi ( xk ) (i = 1, 2, K, m)
                a          k =1
и не верно для ωm +1 . Этот путь выбора xk и Ak есть путь повыше-
ния степени точности равенства (1). Особый интерес имеют форму-
лы, которые обладают наивысшей возможной степенью точности.
   Если класс функций F задан, то при построении равенства (1) ос-
тается произвол в выборе системы функций ωn (n = 1, 2, K). Требова-
ние полноты, которому должна удовлетворять система, не полностью
определяет систему и дает широкие возможности выбора ωn (x).
   Приведем примеры выбора ωn ( x). Пусть [a, b] есть любой конеч-
ный отрезок. Известно, что если функция f (x) непрерывна на отрез-
ке [a, b] , то для всякого ε > 0 существует многочлен P (x) , отли-
чающийся от f (x) меньше чем на ε :
                                f ( x) − P( x) < ε.
   Это свойство называется свойством полноты алгебраических мно-
гочленов в пространстве непрерывных функций C . Отсюда следует
полнота системы многочленов в смысле метрики (3).
   Примем систему степеней x : 1, x, x 2 , K за функции ωn (x). Будем
считать, что равенство (1) имеет алгебраическую степень точнос-
ти m , если оно верно для всевозможных многочленов степени m и
не верно для многочленов степени m + 1 . Это равносильно тому, что
равенство
                            b               n
                                i           i
                            ∫ px dx = ∑ Ak xk
                            a            k −1
выполняется для i = 0,1,K , m и не будет выполняться для i = m + 1 .


                                       25

Страницы