Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

19
Лабораторная работа № 3
Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева
Квадратурная формула Гаусса
В этой лабораторной работе рассматриваются правила прибли-
женного интегрирования, имеющие наивысшую алгебраическую
степень точности
∫
∑
=
≈
b
a
n
k
kk
xfAdxxfxp
1
).()()( (1)
Вес )(xp считается таким, что его произведение на многочлен
любой степени есть интегрируемая функция на отрезке ],[ ba и, кро-
ме того,
∫
>
b
a
dxxp .0)(
Формула содержит n2 параметров
k
A
и
),,2,1( nkx
k
K
=
. Их вы-
бором можно сделать равенство точным для всяких многочленов,
имеющих степень не выше
.12
−
n
По абсциссам
k
x построим мно-
гочлен
.)())(()(
1
121
nnn
n
axaxxxxxxxx +++=−−−=ω
−
KK
Чтобы равенство (1) имело наивысшую алгебраическую степень
точности, необходимо и достаточно выполнение двух условий:
1.
Формула (1) интерполяционная и коэффициенты ее имеют
значения
∫
ω
′
−
ω
=
b
a
kk
k
dx
xxx
x
xpA .
)()(
)(
)(
2.
Многочлен )(xω ортогонален на ],[ ba по весу )(xp ко всяко-
му многочлену )(xQ степени, меньшей
n :
∫
=ω
b
a
dxxQxxp .0)()()( 
                    Лабораторная работа № 3
  Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева
                Квадратурная формула Гаусса
   В этой лабораторной работе рассматриваются правила прибли-
женного интегрирования, имеющие наивысшую алгебраическую
степень точности
                          b                       n

                         ∫ p( x) f ( x)dx ≈ ∑
                                            k =1
                                                 Ak f ( xk ).                      (1)
                          a

   Вес p (x) считается таким, что его произведение на многочлен
любой степени есть интегрируемая функция на отрезке [a, b] и, кро-
ме того,
                                      b

                                      ∫ p( x) dx > 0.
                                      a

   Формула содержит 2n параметров Ak и xk (k = 1, 2, K, n) . Их вы-
бором можно сделать равенство точным для всяких многочленов,
имеющих степень не выше 2n − 1. По абсциссам xk построим мно-
гочлен
          ω( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) K ( x − xn ) = x n + a1 x n−1 + K + a n .
   Чтобы равенство (1) имело наивысшую алгебраическую степень
точности, необходимо и достаточно выполнение двух условий:
   1. Формула (1) интерполяционная и коэффициенты ее имеют
значения
                                  b
                                                ω( x)
                        Ak = p( x)∫
                                  a
                                          ( x − xk )ω′( xk )
                                                             dx.

   2. Многочлен ω(x) ортогонален на [a, b] по весу p (x) ко всяко-
му многочлену Q (x) степени, меньшей n :
                              b

                              ∫ p( x)ω( x)Q( x)dx = 0.
                              a




                                            19

Страницы