Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

20
Если 0)( ≥xp , то многочлен )(x
ω
, удовлетворяющий условию
ортогональности, существует для любого n . Такой многочлен един-
ственный, корни его
),,2,1( nkx
k
K
=
действительны, различны и
лежат внутри отрезка ].,[ ba Наивысшая степень точности 12 −n .
Коэффициенты
k
A имеют одинаковые знаки. Погрешность опреде-
ляется по формуле
∫
ξξω=
b
a
n
n
dfxxp
n
fR )()()(
!2
1
)(
)2(2
,
где ].,[)( bax ∈ξ
Если вес )(xp сохраняет свой знак на ],[ ba , то существует такая
точка ],,[ ba∈η что
∫
ω
η
=
b
a
n
n
dxxxp
n
f
fR .)()(
!2
)(
)(
2
)92
Если весовая функция ,1)(
=
xp то получаем квадратурную фор-
мулу Гаусса. Она дает наилучшую точность в том случае, когда ин-
тегрируемая функция не имеет особенностей на отрезке интегриро-
вания и обладает высоким порядком гладкости. Линейным преобра-
зованием независимой переменной отрезок можно привести к стан-
дартному отрезку :]1,1[−
∫
∑
−
=
+=
1
1
1
).()()(
n
k
kk
fRxfAdxxf
Степень точности равна
.12
−
n
Систему многочленов, ортого-
нальных на ],1,1[− образуют многочлены Лежандра
.)1(
!2
1
)(
2 n
n
n
n
n
x
dx
d
n
xP −=
Абсциссы
k
x являются нулями многочлена .0)(:
=
knn
xPP Коэф-
фициенты квадратурной формулы определяются следующим обра-
зом: 
   Если p( x) ≥ 0 , то многочлен ω(x) , удовлетворяющий условию
ортогональности, существует для любого n . Такой многочлен един-
ственный, корни его xk (k = 1, 2, K, n) действительны, различны и
лежат внутри отрезка [a, b]. Наивысшая степень точности 2n − 1 .
Коэффициенты Ak имеют одинаковые знаки. Погрешность опреде-
ляется по формуле
                                         b
                                  1
                      Rn ( f ) =
                                 2n! a   ∫
                                       p ( x ) ω 2 ( x ) f ( 2 n ) ( ξ ) dξ ,

где ξ( x) ∈ [a, b].
   Если вес p (x) сохраняет свой знак на [a, b] , то существует такая
точка η ∈ [a, b], что
                                                     b
                                      f 92 n ) (η)
                       Rn ( f ) =
                                         2n! a       ∫
                                                   p( x)ω2 ( x)dx.

    Если весовая функция p( x) = 1, то получаем квадратурную фор-
мулу Гаусса. Она дает наилучшую точность в том случае, когда ин-
тегрируемая функция не имеет особенностей на отрезке интегриро-
вания и обладает высоким порядком гладкости. Линейным преобра-
зованием независимой переменной отрезок можно привести к стан-
дартному отрезку [−1,1] :
                        1                    n

                        ∫   f ( x)dx =   ∑A
                                         k =1
                                                 k   f ( xk ) + R ( f ).
                       −1

   Степень точности равна 2n − 1. Систему многочленов, ортого-
нальных на [−1,1], образуют многочлены Лежандра
                                               1 dn 2
                              Pn ( x) =                  ( x − 1) n .
                                             2 n n! dx n
   Абсциссы xk являются нулями многочлена Pn : Pn ( xk ) = 0. Коэф-
фициенты квадратурной формулы определяются следующим обра-
зом:



                                                 20

Страницы