Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

22
будем иметь:
∫
∑
∫
∑∑ ∑∑ ∑
−
−
=
−
−
== =
−
==
====
1
1
12
0
1
1
12
00 0
12
01
).()(
n
k
n
r
n
i
n
i
n
k
n
i
ii
k
iki
k
iik
k
k
tfAtcAtAcdttcdttf
Учитывая соотношения
∫
−
+
+
−−
=
1
1
1
1
)1(1
k
dtt
k
k
,
заключаем, что для решения задачи достаточно определить
i
t и
i
A
из системы
n2 уравнений
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
−
=
=
=
∑
∑
∑
∑
=
−
=
−
=
=
n
i
n
ii
n
i
n
ii
n
i
ii
n
i
i
tA
n
tA
tA
A
1
12
1
22
1
1
.0
,
12
2
.............
,0
,2
(4)
Система (4) нелинейная и ее решение вызывает большие матема-
тические трудности. Однако здесь можно применить искусственный
прием.
Рассмотрим полиномы
),1,,1,0)(()( −== nktPttf
n
k
K
где
)(tP
n
– полином Лежандра.
Степени этих многочленов не превышают
,12
−
n
поэтому на ос-
новании системы (4) для них должна быть справедлива формула (2) и
справедлива система
∫
∑
−
=
−==
1
1
1
).1,,1,0)(()(
n
i
in
k
iin
k
nktPtAdttPt K (5) 
будем иметь:
     1                 2 n −1          1                2 n −1             n             n         2 n −1          n

     ∫    f (t )dt =   ∑c ∫t
                           k =0
                                   k
                                            k
                                                dt =    ∑ c ∑ A t = ∑ A ∑ c t = ∑ A f (t ).
                                                           r =0
                                                                   k
                                                                       i =0
                                                                               i i
                                                                                  k

                                                                                        i =0
                                                                                               i
                                                                                                   k =0
                                                                                                              k
                                                                                                            k i
                                                                                                                  i =1
                                                                                                                         i   i
     −1                                −1

   Учитывая соотношения
                                                1
                                                                  1 − (−1) k +1
                                                ∫
                                                −1
                                                    t k dt =
                                                                     k +1
                                                                                ,

заключаем, что для решения задачи достаточно определить ti и Ai
из системы 2n уравнений
                                                             n
                                                                                 ⎫
                                                           ∑ A = 2,    i         ⎪
                                                            i =1                 ⎪
                                                            n
                                                                                 ⎪
                                                        ∑        Ai ti = 0,      ⎪
                                                          i =1                   ⎪
                                                             .............       ⎬                                               (4)
                                                   n
                                                                            2    ⎪
                                                ∑i =1
                                                      Ai ti2 n−2 =              ,⎪
                                                                          2n − 1 ⎪
                                                        n                        ⎪
                                                     ∑i =1
                                                               Ai ti2 n−1 = 0. ⎪
                                                                                 ⎭
   Система (4) нелинейная и ее решение вызывает большие матема-
тические трудности. Однако здесь можно применить искусственный
прием.
   Рассмотрим полиномы
                                  f (t ) = t k Pn (t )(k = 0, 1, K, n − 1),
где Pn (t ) – полином Лежандра.
   Степени этих многочленов не превышают 2n − 1, поэтому на ос-
новании системы (4) для них должна быть справедлива формула (2) и
справедлива система
                       1                               n

                   ∫       t k Pn (t )dt =           ∑ At
                                                      i =1
                                                                     k
                                                                  i i Pn (ti )( k     = 0,1,K , n − 1).                          (5)
                   −1




                                                                       22

Страницы