Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

23
С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов
Лежандра выполнены равенства
∫
−
=
1
1
0)( dttPt
n
k
при ,nk
<
поэтому
∑
=
−==
n
i
in
k
ii
nktPtA
1
).1,,1,0(,0)( K (6)
Равенства (6) будут выполняться при любых значениях
,
i
A
если
положить
),,,2,1(,0)( nitP
in
K
=
=
(7)
т. е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (2)
в качестве узлов
i
t
достаточно взять нули соответствующего поли-
нома Лежандра. Как известно, эти нули действительны, различны и
расположены в интервале ].1,1[
−
Зная абсциссы
i
t , можно найти из
линейной системы коэффициенты
).,,2,1( niA
i
K
=
Определитель
этой системы есть определитель Вандермонда
∏
>
≠−=
ji
ji
ttD 0)(
и, следовательно,
i
A определяются однозначно.
Формула (2), где
i
t – нули многочлена Лежандра )(tP
n
и
),,2,1( niA
i
K= определяются из системы (4), называется квадратур-
ной формулой Гаусса.
В табл. 1 даны приближенные значения узлов
i
t и коэффициентов
i
A в квадратурной формуле Гаусса для .8,,2,1 K
=
n
Недостаток применения квадратурной формулы Гаусса состоит в
том, что абсциссы точек
i
t
и коэффициенты
i
A
– иррациональные
числа. Достоинство – высокая точность при малом числе ординат. 
  С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов
Лежандра выполнены равенства
                   1

                  ∫t
                         k
                             Pn (t )dt = 0 при k < n,
                  −1

поэтому
                   n

                 ∑At
                  i =1
                                k
                             i i Pn (t i )   = 0, (k = 0, 1, K, n − 1).   (6)

   Равенства (6) будут выполняться при любых значениях Ai , если
положить
                      Pn (ti ) = 0, (i = 1, 2, K, n),         (7)
т. е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (2)
в качестве узлов ti достаточно взять нули соответствующего поли-
нома Лежандра. Как известно, эти нули действительны, различны и
расположены в интервале [−1,1]. Зная абсциссы ti , можно найти из
линейной системы коэффициенты Ai (i = 1, 2, K, n). Определитель
этой системы есть определитель Вандермонда
                                   D=        ∏ (t
                                             i> j
                                                    i   −tj) ≠ 0

и, следовательно, Ai определяются однозначно.
    Формула (2), где ti – нули многочлена Лежандра Pn (t ) и
Ai (i = 1, 2, K, n) определяются из системы (4), называется квадратур-
ной формулой Гаусса.
   В табл. 1 даны приближенные значения узлов ti и коэффициентов
Ai в квадратурной формуле Гаусса для n = 1, 2, K, 8.
   Недостаток применения квадратурной формулы Гаусса состоит в
том, что абсциссы точек ti и коэффициенты Ai – иррациональные
числа. Достоинство – высокая точность при малом числе ординат.




                                                    23

Страницы