Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

25
получим:
∫∫
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+−
=
b
a
dtt
abab
f
ab
dxxf
1
1
.
222
)(
Применяя к этому интегралу квадратурную формулу Гаусса (1),
имеем:
∫
∑
=
−
=
b
a
n
i
ii
xfA
ab
dxxf
1
),(
2
)( (8)
где
),,,2,1(
22
nit
abab
x
ii
K=
−
+
+
=
i
t – нули полинома Лежандра ),(tP
n
т. е. .0)(
=
in
tP
Остаточный член формулы Гаусса с
n узлами выражается сле-
дующим образом:
.
)12(])!2[(
)()!()(
3
)2(412
+
ξ−
=
+
nn
fnab
R
nn
n
Схема вычисления интеграла по формуле Гаусса:
1.
Определить значения узлов интегрирования
.
i
x
2.
Определить значения подынтегральной функции в узлах ин-
тегрирования .
i
y
3.
Определить значения коэффициентов квадратурной формулы
.
2
ii
A
ab
C
−
=
4.
Определить приближенное значение интеграла
∑
=
n
i
ii
yC
1
.
5.
Сделать оценку погрешности .
n
R 
получим:
                b                            1
                                 b−a   ⎛b+a b−a ⎞
                ∫a
                     f ( x) dx =      f⎜
                                  2 −1 ⎝ 2
                                           + ∫ t ⎟dt.
                                             2 ⎠
  Применяя к этому интегралу квадратурную формулу Гаусса (1),
имеем:
                            b                            n
                                                 b−a
                            ∫   f ( x)dx =
                                                  2
                                                       ∑ A f ( x ),
                                                        i =1
                                                               i        i                (8)
                            a

где
                            b+a b−a
                     xi =      +    ti (i = 1, 2, K, n),
                             2   2
ti – нули полинома Лежандра Pn (t ), т. е. Pn (ti ) = 0.
  Остаточный член формулы Гаусса с n узлами выражается сле-
дующим образом:
                                (b − a ) 2 n+1 (n!) 4 f ( 2 n ) (ξ)
                     Rn =                                           .
                                    [(2n)!]3 ( 2n + 1)
  Схема вычисления интеграла по формуле Гаусса:
  1. Определить значения узлов интегрирования xi .
   2. Определить значения подынтегральной функции в узлах ин-
тегрирования yi .
  3. Определить значения коэффициентов квадратурной формулы
                                                 b−a
                                        Ci =         Ai .
                                                  2
                                                                             n
  4. Определить приближенное значение интеграла                             ∑ Ci y i .
                                                                            i =1

  5. Сделать оценку погрешности Rn .




                                                 25

Страницы