Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

26
Задание
Просчитать интегралы по формуле Гаусса при .8,7,6
=
n
Квадратурная формула Чебышева
Рассмотрим квадратурную формулу
∫
∑
−
=
=
1
1
1
),()(
n
i
ii
tfBdttf (9)
где
i
B – постоянные коэффициенты.
Чебышев предложил выбрать абсциссы
i
t таким образом, чтобы:
1)
коэффициенты
i
B были равны между собой;
2)
квадратурная формула (9) являлась точной для всех полино-
мов степени n включительно.
Найдем коэффициенты
i
B и узлы ,
i
t полагая
21
BB
=
=
=
K
.BB
n
==
Возьмем функцию ,1)(
=
tf будем иметь
∑
=
=
n
i
i
B
1
,2
откуда
.
2
n
B =
Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид
∫
∑
−
=
=
1
1
1
).(
2
)(
n
i
i
tf
n
dttf (10)
Для определения абсцисс
i
t
заметим, что формула (10), согласно
условию (2), должна быть точной для функций вида
.,,,)(
2 n
ttttf K=
Подставляя эти функции в формулу (10), получим систему урав-
нений 
                                  Задание
  Просчитать интегралы по формуле Гаусса при n = 6, 7, 8.

            Квадратурная формула Чебышева
  Рассмотрим квадратурную формулу
                             1                  n

                             ∫   f (t ) dt = ∑ Bi f (ti ),    (9)
                         −1                    i =1

где Bi – постоянные коэффициенты.
  Чебышев предложил выбрать абсциссы ti таким образом, чтобы:
  1) коэффициенты Bi были равны между собой;
  2) квадратурная формула (9) являлась точной для всех полино-
мов степени n включительно.
   Найдем коэффициенты Bi и узлы ti , полагая B1 = B2 = K =
= Bn = B. Возьмем функцию f (t ) = 1, будем иметь
                                        n
                                  2 = ∑ Bi ,
                                       i =1

откуда B = 2 .
            n
   Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид
                         1
                                              2 n
                         ∫   f (t )dt =         ∑ f (ti ).
                                              n i =1
                                                             (10)
                        −1

   Для определения абсцисс ti заметим, что формула (10), согласно
условию (2), должна быть точной для функций вида
                         f (t ) = t , t 2 ,K , t n .
   Подставляя эти функции в формулу (10), получим систему урав-
нений




                                      26

Страницы