Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

21
22
)]()[1(
2
knk
k
xPx
A
′
−
= ,
остаточный член
),(
)!2(
)!(
)!2)(12(
2
)(
)2(
2
212
η
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
+
n
n
f
n
n
nn
fR
где .11 <
η
<−
Выведем квадратурную формулу Гаусса.
Рассмотрим функцию ),(tfy
=
заданную в стандартном интерва-
ле ].1,1[− Это можно сделать путем линейной замены независимого
переменного по формуле
.
22
t
abab
x
−
+
+
=
Поставим задачу: как нужно подобрать узлы
n
ttt ,,,
21
K и коэффи-
циенты
,,,,
21 n
AAA K чтобы квадратурная формула
∫
∑
−
=
=
1
1
1
)()(
n
i
ii
tfAdttf
(2)
была точной для всех полиномов )(tf наивысшей возможной степе-
ни .N В нашем распоряжении имеются n2 постоянных:
),,,2,1(, niAt
ii
K= а полином степени 12
−
n определяется n2 коэф-
фициентами. Поэтому наивысшая степень многочлена, в общем слу-
чае, равна .12 −= nN Для обеспечения равенства (2) необходимо и
достаточно, чтобы оно было верным при
.,,,,1)(
122 −
=
n
ttttf K
Действительно, полагая
∫
∑
−
−=
−==
1
1
1
)12,,2,1,0(,
n
i
k
ii
k
nktAdtt K (3)
и
∑
−
=
=
12
0
,)(
n
k
kk
tctf 
                                                         2
                             Ak =                                           ,
                                                        ′
                                          (1 − xk2 )[ Pn ( xk )]2
остаточный член
                                                                    2
                             2 2 n+1   ⎡ (n!) 2 ⎤ ( 2 n )
                R( f ) =               ⎢        ⎥ f       (η),
                         (2n + 1)(2n)! ⎣ (2n)!⎦
где − 1 < η < 1.
   Выведем квадратурную формулу Гаусса.
   Рассмотрим функцию y = f (t ), заданную в стандартном интерва-
ле [−1,1]. Это можно сделать путем линейной замены независимого
переменного по формуле
                                b+a b−a
                             x=      +     t.
                                  2     2
   Поставим задачу: как нужно подобрать узлы t1 , t 2 , K , t n и коэффи-
циенты A1 , A2 ,K , An , чтобы квадратурная формула
                                  1                      n

                                  ∫    f (t )dt =      ∑ A f (t )
                                                       i =1
                                                               i        i       (2)
                                  −1

была точной для всех полиномов f (t ) наивысшей возможной степе-
ни N . В нашем распоряжении имеются 2n постоянных:
ti , Ai (i = 1, 2, K, n), а полином степени 2n − 1 определяется 2n коэф-
фициентами. Поэтому наивысшая степень многочлена, в общем слу-
чае, равна N = 2n − 1. Для обеспечения равенства (2) необходимо и
достаточно, чтобы оно было верным при
                                  f (t ) = 1, t , t 2 ,K , t 2 n−1.
    Действительно, полагая
                  1                n

                  ∫    t k dt =   ∑ At
                                  i =−1
                                               k
                                            i i , (k   = 0,1,2,K ,2n − 1)       (3)
                  −1

и
                                                     2 n −1
                                          f (t ) =   ∑c t ,
                                                     k =0
                                                              k k




                                                  21

Страницы