Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

30
Для этого необходимо и достаточно, чтобы формула (1) была точ-
ной для произведения степеней ).;,,2,1,0,( nlknlkyx
lk
≤+= K
Полагая в (1) ,),(
lk
yxyxf = будем иметь:
∫∫
∑
σ
=
==
)(
1
N
l
l
i
k
ii
lk
kl
yxAdxdyyxI
nlknlk
<
+
=
;,,1,0, K . (3)
Таким образом, коэффициенты
i
A формулы (1), вообще говоря,
могут быть определены из системы линейных уравнений (3).
Для того чтобы система (3) была определенной, необходимо,
чтобы число неизвестных N было равно числу уравнений.
Отсюда, составляя «решетку показателей» (рис. 2), получаем:
.
2
)2)(1(
1)1(
++
=++++=
nn
nnN
K
Рис. 2
Рассмотрим еще один прием вычисления двойного интеграла.
Пусть область интегрирования ограничена непрерывными однознач-
ными кривыми 0)()()((),( xxxyxy
ψ
≤
ϕ
ψ
=
ϕ= и двумя вертикалями
bxax == , (рис. 3). 
  Для этого необходимо и достаточно, чтобы формула (1) была точ-
ной для произведения степеней x k y l (k , l = 0, 1, 2, K, n; k + l ≤ n).
   Полагая в (1) f ( x, y ) = x k y l , будем иметь:
                                   N
          I kl = ∫∫ x k y l dxdy = ∑ Ai xik yil    k , l = 0, 1, K, n; k + l < n .   (3)
                (σ)                l =1

   Таким образом, коэффициенты Ai формулы (1), вообще говоря,
могут быть определены из системы линейных уравнений (3).
   Для того чтобы система (3) была определенной, необходимо,
чтобы число неизвестных N было равно числу уравнений.
   Отсюда, составляя «решетку показателей» (рис. 2), получаем:
                                                    ( n + 1)(n + 2)
                      N = ( n + 1) + n + K + 1 =                    .
                                                            2




                                          Рис. 2

   Рассмотрим еще один прием вычисления двойного интеграла.
Пусть область интегрирования ограничена непрерывными однознач-
ными кривыми y = ϕ( x), y = ψ ( x)(ϕ( x) ≤ ψ( x)0 и двумя вертикалями
x = a, x = b (рис. 3).



                                           30

Страницы