Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Её решим, используя двукратно формулу a
2
+b
2
=(a+b)
2
– 2ab. Из равенства
82
4
4
=+
v
u
следует , что (u
2
+v
2
)
2
– 2u
2
v
2
=82, то есть ((u+v)
2
– 2uv)
2
–
– 2u
2
v
2
=82. С учетом того , что
4
=
+
v
u
, получаем (16 – 2uv)
2
– 2u
2
v
2
=82
⇔
256 – 64uv+4u
2
v
2
– 2u
2
v
2
– 82=0
⇔
2u
2
v
2
– 64uv+174=0
⇔
⇔
(uv)
2
– 32(uv)+87=0. По теореме, обратной теореме Виета, получаем ,
что uv=3 или uv=29. Поэтому система (3) равносильна следующей сово-
купности двух систем :
=++
−=
=+−
−=
⇔
=−
−=
=−
−=
⇔
=
=+
=
=+
.0294
2
,4
;034
2
,4
.29)4(
,4
;3)4(
,4
.29
,4
;3
,4
vv
vu
vv
vu
vv
vu
vv
vu
uv
vu
uv
vu
Вторая система последней совокупности решений не имеет , так как в
уравнении
0
29
4
2
=++
v
v
дискриминант D<0. Значит, она равносильна
следующей совокупности:
=
=
;1
,3
v
u
или
=
=
.3
,1
v
u
Возвращаясь к x, получаем :
−=
=
⇔
=−
=+
=−
=+
⇔
=−
=+
=−
=+
.40
,40
.8141
,141
;141
,8141
.3
4
41
,1
4
41
;1
4
41
,3
4
41
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
Ответ:
±
40.
2. Решение уравнения
()()
07
2
2
12712 =+++++ xxxx
:
Введём в рассмотрение функцию f(y)= 7
2
+yy . Тогда исходное уравне-
ние можно представить в виде f(2x+1)+f(x)=0
⇔
f(2x + 1) = – f(x).
Заметим, что функция f(y) является нечётной на R, поэтому последнее
уравнение можно переписать так: f(2x + 1) = f ( – x). (4)
Кроме того , она монотонно возрастает на всей своей области определения.
Действительно, её производная положительна на R:
f
/
(y)=
7
2
2
7
2
+
++
у
у
у >0.
Поэтому на основании достаточного условия монотонности функция f(y)
возрастает на R. В силу теоремы о корне из уравнения (4) следует , что
2х + 1 = – х
3
1
−=х .
Ответ:
3
1
−=х . 
                                    26


Её решим, используя двукратно формулу a2+b 2=(a+b)2 – 2ab. Из равенства
u 4 +v4 =82 следует, что (u2+v2)2 – 2u2v2=82, то есть ((u+v)2 – 2uv)2 –
 – 2u2v2=82. С учетом того, что u +v =4 , получаем (16 – 2uv)2 – 2u2v2=82
⇔ 256 – 64uv+4u2v2 – 2u2v2 – 82=0 ⇔ 2u2v2 – 64uv+174=0 ⇔
⇔ (uv)2 – 32(uv)+87=0. По теореме, обратной теореме Виета, получаем,
что uv=3 или uv=29. Поэтому система (3) равносильна следующей сово-
купности двух систем:
              ��u +v =4,    ��u =4 −v,         ��u =4 −v,
                                               ��
              ��            ��                  � 2
                            ��( 4 −v )v =3;    ��
              ��uv =3;                          �v −4v +3 =0;
              ��u +v =4, ⇔  �                ⇔ �
              ��            ��u =4 −v,          �u =4 −v,
                                               ��
                             �                 ��
              ��uv =29.
              �             ��( 4 −v )v =29.
                            �                  ��v 2 +4v +29 =0.
                                            ��
Вторая система последней совокупности решений не имеет, так как в
уравнении v 2 +4v +29 =0 дискриминант D<0. Значит, она равносильна
следующей совокупности:
                            �u =3,      �u =1,
                            �       или �
                            �v =1;      �v =3.
Возвращаясь к x, получаем:
                 ��4 х +41 =3,
                 ��
                  �
                                 ��х +41 =81,
                 ��4             ��
                 �� 41 −х =1; ⇔ ��41 −х =1; ⇔ �х =40,
                 ��4             ��х +41 =1,   �
                 �� х +41 =1,    ��            �х =−40.
                 ��4             ��41 −х =81.
                                 �
                  � 41 −х =3.
                 ��
Ответ: ±40.
  2. Решение уравнения (2 x +1) 7 +(2 x +1)2 +x x 2 +7 =0 :
Введём в рассмотрение функцию f(y)= y y 2 +7 . Тогда исходное уравне-
ние можно представить в виде f(2x+1)+f(x)=0 ⇔ f(2x + 1) = – f(x).
Заметим, что функция f(y) является нечётной на R, поэтому последнее
уравнение можно переписать так: f(2x + 1) = f ( – x). (4)
Кроме того, она монотонно возрастает на всей своей области определения.
Действительно, её производная положительна на R:
                                         у2
                       f /(y)= у 2 +7 +          >0.
                                          2
                                        у +7
Поэтому на основании достаточного условия монотонности функция f(y)
возрастает на R. В силу теоремы о корне из уравнения (4) следует, что
                                              1
                          2х + 1 = – х ⇔ х =− .
                                              3
              1
Ответ: х =− .
              3

Страницы