Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 110 стр.

                                          110

     12. Назовите все поворотные отражения пространства, при которых
правильная треугольная призма переходит в себя.
     13. Множество всех поворотных отражений пространства с одной и
той же плоскостью симметрии и одной и той же осью поворота образует
коммутативную группу.
      Пусть f есть поворотное отражение пространства, определяемое плоско-
стью π, прямой d и направленным углом α. В пространстве зададим ПДСК так,
чтобы ее началом О служила точка пересечения прямой d с плоскостью π; еди-
ничный вектор k выберем так, чтобы он был параллелен прямой d; а единич-
ные векторы i , j выберем таким образом, чтобы они были взаимно ортого-
нальны и перпендикулярны вектору k . Относительно выбранной системы ко-
ординат получим формулы поворотного отражения пространства. Для этого
возьмем произвольную точку М пространства. Пусть она относительно ПДСК
Оi j k имеет координаты ( x, y, z ) . Под действием поворота эта точка перейдет
в некоторую точку M` ( x`, y`, z `) . Используя формулы поворота пространства
вокруг оси Oz, получим соотношения, связывающие координаты точек M и M`:
                             x` = x cos α − y sin α,
                             y` = x sin α + y cos α,
                             z ` = z.
     Под действием симметрии пространства относительно плоскости π точ-
ка М` перейдет в некоторую точку M`` ( x``, y``, z ``) с координатами
( x``, y``, z ``) относительно ПДСК Оi j k . Используя формулы симметрии про-
странства относительно плоскости Oxy, получим соотношения, связывающие
координаты точек M` и M``:
                                      x`` = x`,
                                      y`` = y`,
                                      z `` = − z `.
       С учетом предыдущих соотношений получаем, что координаты образа
M`` с координатами прообраза М при поворотном отражении связаны форму-
лами
                           x`` = x cos α − y sin α ,
                           y` `= x sin α + y cos α ,       (10.1)
                           z ` `= − z.

     Вопросы и задания для самопроверки

     1.    Какое преобразование пространства называется поворотным отра-
жением?