Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

111
2. Доказать, что поворотной отражение пространства является движени-
ем.
3.
Вывести формулы, задающие поворотное отражение, определяемое
координатной плоскостью
Oxy, осью Oz и направленным углом α относительно
прямоугольной декартовой системы координат
Охуz в пространстве.
4.
В какую фигуру переходит прямая (плоскость) при поворотном отра-
жении? Обоснуйте свой ответ.
5.
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и ее образа при
поворотном отражении? Ответ обосновать.
6.
Что может служить образом середины отрезка при поворотном отра-
жении?
7.
Доказать, что при поворотном отражении сохраняется простое отно-
шение трех точек.
8.
В какую фигуру при поворотном отражении преобразуется отрезок;
луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.
9.
Что можно сказать об угле и его образе, двугранном угле и его образе
при поворотном отражении?
10.
Сколько инвариантных точек имеет поворотное отражение?
11.
Имеет ли поворотное отражение инвариантные прямые; инвариантные
плоскости?
12.
В какую фигуру переходит правильная четырехугольная призма при
поворотном отражении пространства с осью, содержащей ее высоту, углом по-
ворота 270°
и плоскостью, перпендикулярной высоте и проходящей через ее се-
редину?
13.
Назовите все поворотные отражения пространства, при которых пра-
вильная треугольная призма переходит в себя.
14.
Назовите все поворотные отражения, при которых правильная шести-
угольная призма остается на месте.
15.
Назовите все поворотные отражения, которые оставляют правильный
гексаэдр на месте.
Решение примеров
Пример 1.
Найти образ плоскости, заданной относительно ПДСК Oxyz
уравнением 012 =+
−
+
z
y
x
при поворотном отражении, определяемом осью
Oz, углом поворота +30° и плоскостью отражения 02
=
−
z
.
Решение. Прежде всего составим формулы поворотного отражения. Для
этого возьмем любую точку М(
x, y, z) с координатами (x, y, z) относительно
ПДСК
Oxyz. При повороте пространства вокруг оси Oz точка М перейдет в не-
которую точку M`. Пусть эта точка относительно ПДСК
Oxyz имеет координаты
(
x`, y`, z`). Используя формулы 
                                     111

      2. Доказать, что поворотной отражение пространства является движени-
ем.
      3. Вывести формулы, задающие поворотное отражение, определяемое
координатной плоскостью Oxy, осью Oz и направленным углом α относительно
прямоугольной декартовой системы координат Охуz в пространстве.
      4. В какую фигуру переходит прямая (плоскость) при поворотном отра-
жении? Обоснуйте свой ответ.
      5. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и ее образа при
поворотном отражении? Ответ обосновать.
      6. Что может служить образом середины отрезка при поворотном отра-
жении?
      7. Доказать, что при поворотном отражении сохраняется простое отно-
шение трех точек.
      8. В какую фигуру при поворотном отражении преобразуется отрезок;
луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.
      9. Что можно сказать об угле и его образе, двугранном угле и его образе
при поворотном отражении?
      10. Сколько инвариантных точек имеет поворотное отражение?
      11. Имеет ли поворотное отражение инвариантные прямые; инвариантные
плоскости?
      12. В какую фигуру переходит правильная четырехугольная призма при
поворотном отражении пространства с осью, содержащей ее высоту, углом по-
ворота 270° и плоскостью, перпендикулярной высоте и проходящей через ее се-
редину?
      13. Назовите все поворотные отражения пространства, при которых пра-
вильная треугольная призма переходит в себя.
      14. Назовите все поворотные отражения, при которых правильная шести-
угольная призма остается на месте.
      15. Назовите все поворотные отражения, которые оставляют правильный
гексаэдр на месте.


      Решение примеров

        Пример 1. Найти образ плоскости, заданной относительно ПДСК Oxyz
уравнением x + 2 y − z + 1 = 0 при поворотном отражении, определяемом осью
Oz, углом поворота +30° и плоскостью отражения z − 2 = 0 .
        Решение. Прежде всего составим формулы поворотного отражения. Для
этого возьмем любую точку М(x, y, z) с координатами (x, y, z) относительно
ПДСК Oxyz. При повороте пространства вокруг оси Oz точка М перейдет в не-
которую точку M`. Пусть эта точка относительно ПДСК Oxyz имеет координаты
(x`, y`, z`). Используя формулы

Страницы