Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

113
.4``
,
2
3
2
1
``
,
2
1
2
3
``
+
−
=
+=
−=
z
z
yxy
yxx
(4)
Чтобы найти уравнение образа плоскости 012 =+−
+
z
y
x
при
поворотном отражении, задаваемом формулами (10.4), необходимо из этих
формул выразить
x, y, z через x``, y``, z``, а затем полученные выражения под-
ставить в уравнение плоскости
012
=
+
−
+
z
y
x
. Разрешив систему уравнений
(10.4) относительно
x, y, z , получим
.4``
``,
2
3
``
2
1
``,
2
1
``
2
3
+
−
=
+−=
+=
z
z
yxy
yxx
Подставим полученные выражения
x, y, z через x``, y``, z`` в уравнение
данной плоскости, получим, что ее образом при поворотном отражении, опре-
деляемом осью
Oz, углом поворота 30° и плоскостью
02 =
−
z
, служит плос-
кость, определяемая относительно ПДСК
Oxyz уравнением
01)4()
2
3
2
1
(2
2
1
2
3
=++−−+−++ zyxyx
или
062)321()23( =−+++− zyx
.
Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
1. Найти уравнение образа точки А(1, –2, 1) при поворотном отражении
пространства, определяемом:
а) осью Oz, углом поворота 45° и плоскостью отражения 01 =+
z
;
б) осью
Oy, углом поворота 30° и плоскостью отражения 02 =−y ;
в) осью
Ox, углом поворота 60° и плоскостью отражения 03 =−
x
. (Сис-
тема координат – прямоугольная декартова).
2. Найти уравнение прообраза точки М(–1, 2, –3) при поворотном отра-
жении пространства, определяемом:
а) осью Oz, углом поворота 60° и плоскостью отражения 03 =−z ;
б) осью
Oy, углом поворота 45° и плоскостью отражения 02 =−y ;
в) осью
Ox, углом поворота 30° и плоскостью отражения 03 =−
x
. (Сис-
тема координат – прямоугольная декартова).
                                           113

                                            3      1
                                    x``=       x − y,
                                           2       2
                                          1        3
                                    y``= x +         y,                    (4)
                                          2       2
                                    z ``= − z + 4.
      Чтобы найти уравнение образа плоскости x + 2 y − z + 1 = 0 при
поворотном отражении, задаваемом формулами (10.4), необходимо из этих
формул выразить x, y, z через x``, y``, z``, а затем полученные выражения под-
ставить в уравнение плоскости x + 2 y − z + 1 = 0 . Разрешив систему уравнений
(10.4) относительно x, y, z , получим
                                    3         1
                              x=       x`` + y``,
                                   2          2
                                     1          3
                              y = − x`` +         y``,
                                     2         2
                              z = − z `` + 4.
      Подставим полученные выражения x, y, z через x``, y``, z`` в уравнение
данной плоскости, получим, что ее образом при поворотном отражении, опре-
деляемом осью Oz, углом поворота 30° и плоскостью z − 2 = 0 , служит плос-
кость, определяемая относительно ПДСК Oxyz уравнением
                      3    1       1     3
                        x + y + 2(− x +    y ) − (− z + 4) + 1 = 0
                     2     2       2    2
или
                        ( 3 − 2) x + (1 + 2 3 ) y + 2 z − 6 = 0 .


      Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения

      1. Найти уравнение образа точки А(1, –2, 1) при поворотном отражении
пространства, определяемом:
      а) осью Oz, углом поворота 45° и плоскостью отражения z + 1 = 0 ;
      б) осью Oy, углом поворота 30° и плоскостью отражения y − 2 = 0 ;
      в) осью Ox, углом поворота 60° и плоскостью отражения x − 3 = 0 . (Сис-
тема координат – прямоугольная декартова).
      2. Найти уравнение прообраза точки М(–1, 2, –3) при поворотном отра-
жении пространства, определяемом:
      а) осью Oz, углом поворота 60° и плоскостью отражения z − 3 = 0 ;
      б) осью Oy, углом поворота 45° и плоскостью отражения y − 2 = 0 ;
      в) осью Ox, углом поворота 30° и плоскостью отражения x − 3 = 0 . (Сис-
тема координат – прямоугольная декартова).

Страницы