Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

112
z
z
yxy
yxx
=
α+α=
α
−
α
=
`
,cossin `
,sincos `
поворота пространства вокруг оси
Оz на направленный угол α, составим фор-
мулы поворота на заданный угол 30°. Получим:
z
z
yxy
yxx
=
+=
−=
`
,30cos30sin `
,30sin30cos `
oo
oo
или
z
z
yxy
yxx
=
+=
−=
`
,
2
3
2
1
`
,
2
1
2
3
`
(10.2)
При симметрии пространства относительно плоскости
02 =−z
точка M`
перейдет в точку M`` с координатами (
x``, y``, z``). Используя формулы
222
222
222
)(2
`
,
)(2
`
,
)(2
`
C
B
A
DCzByAxC
zz
CBA
DCzByAxB
yy
CBA
DCzByAxA
xx
+
+
+++
−=
++
+++
−=
++
+
+
+
−=
симметрии пространства относительно плоскости
0=+
+
+
DCzBy
A
x , полу-
чим формулы
,4 ` ``
`, ``
`,``
+−=
=
=
zz
yy
x
x
(10.3)
связывающие координаты точек М` и М``, симметричных друг другу относи-
тельно плоскости
02 =
−
z
. Поскольку координаты точек М и М` связаны меж-
ду собой соотношениями (10.2), то подставляя в формулы (10.3) вместо
x`, y`, z`
их выражения через
x, y, z, получим формулы 
                                          112

                             x` = x cos α − y sin α,
                             y` = x sin α + y cos α,
                             z` = z
поворота пространства вокруг оси Оz на направленный угол α, составим фор-
мулы поворота на заданный угол 30°. Получим:
                           x` = x cos 30o − y sin 30o ,
                           y` = x sin 30o + y cos 30o ,
                           z` = z
или
                                           3    1
                                   x` =      x − y,
                                          2      2
                                        1        3
                                   y` = x +        y,                    (10.2)
                                        2       2
                                   z` = z
     При симметрии пространства относительно плоскости z − 2 = 0 точка M`
перейдет в точку M`` с координатами (x``, y``, z``). Используя формулы
                               2 A( Ax + By + Cz + D)
                        x` = x −                       ,
                                     A2 + B 2 + C 2
                               2 B ( Ax + By + Cz + D)
                      y` = y −                         ,
                                     A2 + B 2 + C 2
                               2C ( Ax + By + Cz + D)
                      z` = z −
                                     A2 + B 2 + C 2
симметрии пространства относительно плоскости Ax + By + Cz + D = 0 , полу-
чим формулы
                                     x`` = x`,
                                     y`` = y`,                           (10.3)
                                     z `` = − z ` + 4,
связывающие координаты точек М` и М``, симметричных друг другу относи-
тельно плоскости z − 2 = 0 . Поскольку координаты точек М и М` связаны меж-
ду собой соотношениями (10.2), то подставляя в формулы (10.3) вместо x`, y`, z`
их выражения через x, y, z, получим формулы

Страницы