Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 116 стр.

                                              116



        Теорема 1. Пусть в пространстве (на плоскости) задано два
ортонормированных репера ℜ = {О, А1 , А2 , А3 } и ℜ` = {О`, А1 `, А2 `, А3 `}
(ℜ= {О, А1 , А2 } и ℜ`= {О`, А1 `, А2 `} ). Тогда существует одно и только одно дви-
жение g пространства (плоскости), которое переводит репер ℜ в репер ℜ`, при
этом        каждая       точка      M ( x, y , z ) ℜ ( М ( x, y ) ℜ ) с      координатами
(x, y, z) ((x, y)) относительно репера ℜ переходит в точку M` с теми же самыми
координатами, что и точка M , но только относительно репера ℜ`.
        Доказательство. Задание двух реперов в пространстве индуцирует ото-
бражение g пространства на себя, при котором каждой точке М с координатами
M ( x, y, z ) ℜ относительно ортонормированного репера ℜ ставится в соответ-
ствие точка M`( x, y , z ) ℜ` с теми же самыми координатами ( x, y, z ) , но относи-
тельно ортонормированного репера ℜ`. Очевидно, что при этом отображении
репер ℜ переходит в репер ℜ`. Полученное соответствие g является одновре-
менно и инъективным, и сюръективным, т.е. взаимно однозначным отображе-
нием пространства на себя. Таким образом, мы показали, что существует пре-
образование g пространства на себя, которое переводит репер ℜ в репер ℜ`. Для
того, чтобы доказать, что это преобразование есть движение, необходимо пока-
зать, что оно сохраняет расстояния между любыми двумя точками про-
странства.        Возьмем      произвольно          две       точки   М1 ( x1 , y1 , z1 ) ℜ и
M2 ( x 2 , y 2 , z 2 )ℜ , соответственно, с координатами ( x1, y1, z1 ) и ( x2 , y 2 , z 2 ) от-
носительно ортонормированного репера ℜ. Тогда расстояние между точками
М1 и M 2 будет равно М1М 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 . Под
действием движения g точка М1 перейдет в точку М1 ` с координатами
( x1 , y1 , z1 ) относительно репера ℜ`, а точка M 2 перейдет в точку M 2 ` с
координатами ( x 2 , y 2 , z 2 ) относительно репера ℜ`. Поскольку расстояние
между       точками                  М1 ` и      M2 `      будет        равно
М1 `М 2 `= ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 , то M1M 2 = M1 `M 2 `.
      Таким образом, мы показали, что преобразование g пространства сохра-
няет расстояние между точками, т.е. является движением.
      Теперь покажем, что существует только одно движение, которое перево-
дит ортонормированный репер ℜ в ортонормированный репер ℜ`. Предполо-
жим противное: пусть существует еще одно движение h, отличное от движения
g, которое переводит ортонормированный репер ℜ в ортонормированный репер
ℜ`. Так как эти движения различны, значит, найдется хотя бы одна точка М та-
кая, что g(M) = M` ≠ M`` = h(M). Поскольку ОМ = O`M`, OM = O`M``, то точка
О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку M`M``. Аналогичным обра-
зом можно показать, что точки А1, А2, А3 тоже лежат на серединном перпенди-
куляре к отрезку М`M``. Противоречие, поскольку точки О, А1, А2, А3 не лежат